2. Свойства пределов, виды неопределённостей, способы их раскрытия.

Ответ.

Основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль, бесконечность делить на бесконечность, ноль умножить на бесконечность, бесконечность минус бесконечность, единица в степени бесконечность, ноль в степени ноль, бесконечность в степени ноль. Все другие выражения неопределённостями не являются и принимают вполне конкретное конечное или бесконечное значение. Раскрывать неопределенности позволяет: упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.); использование замечательных пределов; применение правила Лопиталя; использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

3. Первый и второй замечательные пределы. Основание натуральных логарифмов.

Ответ. Рассмотрим следующий предел: . Согласно правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что: Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет: – тот же самый первый замечательный предел. На практике в качестве параметра может выступать не только переменная, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю. В теории математического анализа доказано, что: . Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: – это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию e. Такие логарифмы обозначаются символом ln. Запись lnx означает тоже самое, что и logex. Основание натурального логарифма - число е. Свойства и основные формулы натурального логарифма. 1) ln1=0. Натуральный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0). 2) lne=1. 3) ln(xy)=lnx+lny. 4) lnxy=lnx−lny. 5) lnxn=n⋅lnx. 6) График функции y=lnx:

4. Производные функций. Свойства производных, их смысл.

Ответ. Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: .