Введем обозначение R = ωA . Тогда закон движения частицы мож-
но записать в следующем виде
x(t) = Cx − R cos(ωt −ϕ) , |
|
x(t) = − |
1 |
v z (0) − R cos(ωt −ϕ) , |
||||||||
|
ω |
|||||||||||
y(t) =v y (0)t + 1 |
q |
Et 2 , |
или |
y(t) =v y (0)t + |
1 q |
Et 2 , |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
2 m |
|||||||||||
2 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z(t) = Cz − R sin(ωt −ϕ) , |
|
z(t) = |
1 |
|
v x (0) − R sin(ωt −ϕ) . |
|||||||
|
|
|
|
ω |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2. Анализ движения частицы
Для анализа характера траектории проведем следующие преобразования. Законы движения частицы вдоль осей OX и OZ
|
x = Cx − R cos(ωt −ϕ) , |
|
запишем в виде |
z = Cz − R sin(ωt −ϕ) . |
|
x −Cx = −R cos(ωt −ϕ) , |
||
|
||
|
z −Cz = −R sin(ωt −ϕ) . |
|
Оба уравнения возведем в квадрат и сложим |
||
(x − Cx )2 |
+ (z − Cz )2 = R2 (cos2 (ωt − ϕ) + sin2 (ωt − ϕ)), |
|
(x − Cx )2 + (z − Cz )2 = R2 или (x − xR )2 + (z − zR )2 = R2 , |
||
где |
xR = Cx , zR = Cz . |
|
Полученное уравнение является уравнением окружности с центром в точке (xR, zR) и радиусом R в плоскости XOZ.
Одновременно частица движется равноускоренно вдоль оси OY:
y(t) =v y (0)t + 12 mq Et 2 .
Таким образом, движение частицы представляет суперпозицию равномерного движения по окружности (круговая составляющая) в
плоскости XOZ, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля,
и прямолинейного ускоренного движения (линейная составляющая) в
направлении оси OY, параллельной вектору напряженности электрического поля.
Прямолинейное движение (линейная составляющая) характери-
зуется: |
|
q |
|
|
постоянным ускорением |
aпр = |
E |
||
m |
||||
|
|
|
7
и равномерно меняющейся скоростью vпр ≡v y =v y (0) + |
q |
Et . |
|
|
||||||||
m |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Движение по окружности (круговая составляющая) характери- |
||||||||||||
зуется: |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
2π |
|
|
постоянной угловой скоростью |
ω = |
|
B и периодом T = |
, |
||||||||
m |
ω |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
радиусом |
R = |
|
(v x (0))2 + (v z (0))2 , |
|
|
|
||||||
ω |
|
|
|
|||||||||
|
|
tg ϕ = v x (0) |
|
|
|
|
|
|||||
начальной фазой ϕ, для которой |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v z (0) |
|
|
|
|
|
|||
и положением центра окружности относительно начала системы коор-
динат XOZ: |
Cx = − |
1 v z (0) , Cz |
= 1 v x (0) . |
|
|
|
|
|
|
ω |
ω |
|
|
Линейная скорость движения частицы по окружности (кругового |
||||||
движения) равна vкр |
= Rω = (v x (0))2 + (v z (0))2 |
=v и не |
зависит |
от |
||
внешних полей. |
|
|
|
y |
|
|
Таким образом, движе- |
|
|
|
|||
ние заряженной частицы в па- |
|
|
|
|
||
раллельных полях представля- |
|
|
|
|
||
ет собой движение по окруж- |
|
vпр |
|
|
||
ности в плоскости XOZ, центр |
|
Cx |
|
|||
которой |
равноускоренно дви- |
|
|
|
||
жется в направлении оси OY |
|
vпр |
v(0) |
|||
(рис. 2). Траектория движения |
|
|||||
частицы |
представляет собой |
|
|
Cz |
x |
|
трехмерную кривую, |
которая |
|
|
|||
параметрически описана полу- |
R |
|
ϕ |
|
||
ченными |
законами движения, |
z |
|
|
||
и называется винтовой лини- |
|
|
|
|||
ей. Отрезок кривой, |
который |
|
Рис. 2 |
|
|
|
частица проходит за один полный оборот по окружности в плоскости XOZ, называют витком винтовой линии.
Электрическое и магнитное поля оказывают независимое влияние на характер движения частицы.
Изменение индукции магнитного поля B оказывает влияние только на круговое движение частицы, меняя его угловую скорость ω и радиус R. Изменение напряженности электрического поля E оказывает влияние только на прямолинейное движение, меняя ускорение aпр. Если проекция напряженности электрического поля Ey = E и заряд частицы q
8