Полной механической энергией E тела (системы тел) в данной точке называется сумма кинетической и потенциальной энергии этого тела с учетом всех потенциальных сил, действующих на тело.

E = EK +U .

Силы, работа которых на любом участке пути является отрицательной, называются диссипативными. Работа диссипативных сил ведет к уменьшению полной механической энергии системы, то есть к потерям (диссипации) энергии. Примером диссипативных сил является сила трения скольжения.

фиксированной траектории в вертикальной плоскости. На одном конце прямолинейного участка направляющей расположена пружина. В начальный момент тело располагается вплотную к пружине. Сжимая пружину, и удерживая возле нее тело, можно сообщить системе начальную энергию. Когда тело и пружину перестают удерживать, тело под действием силы упругости начинает двигаться. Когда пружина полностью

11

распрямится, сила упругости перестает действовать на тело. Так как тело не соединено с пружиной, оно продолжает двигаться по инерции вдоль направляющей.

В зависимости от того какой энергией обладала система в начальный момент времени тело может: подняться на небольшую высоту по круговому участку направляющей и начать скатываться вниз; подняться до наивысшей точки направляющей; преодолеть наивысшую точку направляющей и начать скатываться вниз по противоположной стороне кругового участка направляющей. На всем пути движения действует сила трения. Поэтому если в начальный момент система обладала достаточно малой энергией, то тело может не достичь кругового участка направляющей.

2.1. Закон сохранения энергии

Рассмотрим случай, когда тело поднялось по круговому участку направляющей на некоторую высоту (меньше наивысшей точки направляющей) и скатывается вниз по той же стороне кругового участка направляющей, по которой оно поднималось. В этом случае траектория тела имеет точку максимального подъема hmax, в которой тело останавливается (v = 0).

На тело действует сила тяжести, сила трения скольжения и сила упругости. Сила тяжести и сила упругости (если для ее описания можно воспользоваться законом Гука) являются консервативными, в каждой точке траектории каждой из них соответствует определенная потенциальная энергия. Сила трения – диссипативная сила. Сила тяжести и сила трения действуют на протяжении всего движения тела. Сила упругости действует на небольшом отрезке прямолинейного участка траектории, пока сжатие пружины отлично от нуля. За начало отсчета высоты (потенциальной энергии силы тяжести) примем высоту, на которой находилось тело в начальный момент времени.

Рассмотрим движение тела (рис. 5) из точки 1 (начальное положение тела) до точки 2 (точка наивысшего подъема hmax). В начальный момент, в точке 1 тело покоится (v = 0) EK1 = 0 , поэтому его полная меха-

ническая энергия E1 в этой точке равна потенциальной энергии сжатой пружины (потенциальную энергию силы тяжести в этой точке приняли за ноль):

В точке 2 скорость тела также равна нулю (v = 0), кинетическая энергия EK2 = 0 . При движении по круговому участку сила упругости

12

на тело не действует. Следовательно, полная механическая энергия E2 системы в точке 2 равна потенциальной энергии силы тяжести

E2 = EK2 +U2 =U2 = mghmax .

Обозначим работу силы трения на участке траектории между точками 1 и 2 как A. Тогда согласно закону сохранения энергии

E2 − E1 = A.

Учитывая, что диссипативные силы приводят к потерям энергии, E1 > E2

считать работу силы трения на всем участке пути от начальной точки до точки максимального подъема.

2.2. Работа силы трения скольжения

Направляющая, по которой движется тело, имеет два участка различной формы. Так как сила трения скольжения – это неконсервативная сила, то ее работа зависит как от формы, так и от длины пути, по которому движется тело.

Рассмотрим работу силы трения скольжения F = μ N . Сила тре-

ния всегда направлена в сторону, противоположную движению, поэтому работа силы трения всегда отрицательна

μ – коэффициент трения, |N| – модуль силы нормального давления N тела на опору, которыйr поr третьему закону Ньютона равен модулю си-

лы реакции опоры Rоп : N = −Rоп или |N| = |Rоп|.

Работа силы трения при движении по горизонтальному участку направляющей

При движении по горизонтальному прямолинейному участку направляющей длиной L сила реакции опоры Rоп направлена вертикально

вверх (рис. 6а) и одинакова во всех точках, через которые проходит тело. Следовательно, |N| = mg. Смещение тела dr происходит в одном направлении dr = dl. Пусть длина прямолинейного участка направляющей, по которой двигалось тело, равна L, тогда работу силы трения на этом участке можно записать как

13

2 L L

Aпр = −μ∫ N dr = −μ∫mg dl = −μmg∫dl = −μmgL .

1 0 0

Таким образом, работа силы трения скольжения на горизонтальном прямолинейном участке направляющей прямо пропорциональна длине пройденного телом пути.

Рис. 6

Работа силы трения при движении по круговому участку направляющей

При движенииr по круговому участку направляющей сила реак-

ции опоры Rоп направлена вдоль радиуса окружности (к центру или от нее). Положение тела на окружности (рис. 6б) удобно задавать в полярных координатах R и ϕ (R – радиус окружности, ϕ – полярный угол, за нулевое значение которого примем положение, когда тело переходит с прямолинейного участка направляющей на круговой – самое нижнее положение на круговом участке направляющей).

14

ус окружности; сила трения направлена по касательной, перпендикулярно радиусу, поэтому ее проекция на радиальное направление равна нулю.

Тогда сила реакции опоры: Rоп = m(Rω2 + g cos ϕ) .

Проанализируем изменение силы реакции опоры при подъеме по круговому участку направляющей.

При подъеме по круговому участку направляющей угловая скорость ω постепенно уменьшается от некоторого значения до нуля в точке наивысшего подъема ϕmax, которой соответствует высота hmax.

Полярный угол ϕ при этом возрастает от 0 до ϕmax. С ростом ϕ величина g cos ϕ уменьшается и при ϕ > π/2 становится отрицательной.

Учитывая, что центростремительное ускорение Rω2 положительная величина, очевидно, что сила реакции опоры при переходе тела с прямолинейного участка на круговой (ϕ = 0) максимальна и направлена вертикально вверх (к центру окружности). По мере продвижения тела по круговому участку направляющей сила реакции опоры будет уменьшаться (рис. 6в). При подъеме на высоту h, которой соответствует по-

лярный угол ϕ > π/2, сила реакции опоры Rоп = m(Rω2 − g | cos ϕ|) мо-

жет стать отрицательной, то есть сменит направление (от центра окружности).

Поэтому при расчете работы силы трения необходимо учитывать модуль силы реакции опоры

Rоп = m Rω2 + g cos ϕ .

Тогда работа силы трения между точками 1 (h = 0, ϕ = 0) и 2 (h = hmax, ϕ = ϕmax) на круговом участке направляющей равна

2 2

Aкр = −μ∫ N dr = −μm∫ Rω2 + g cos ϕ dr .

1 1

15

Перемещение тела происходит по окружности, поэтому dr = R dϕ. Тогда чтобы вычислить работу силы трения по круговому участку от точки 1, где ϕ = 0, до точки максимального подъема ϕ = ϕmax, необходимо рассчитать интеграл:

тогда работу силы трения можно записать в виде

Aкр = −μmRI(ϕmax ) .

Чтобы рассчитать интеграл I(ϕmax), необходимо знать зависимость угловой скорости от полярного угла ω = ω(ϕ). Эту зависимость можно получить либо из второго закона Ньютона в проекции на орт полярного угла, либо из экспериментальных данных. И в том и в другом случае задача сводится к численному интегрированию.

Полученное выражение

ϕmax

Aкр = −μmR ∫ Rω2 + g cos ϕ dϕ

0

позволяет качественно проанализировать работу силы трения скольжения при движении по круговому участку направляющей.

1. Зависимость работы силы трения от массы движущегося тела и коэффициента трения. Запишем выражение для работы силы трения при подъеме тела до некоторой точки, описываемой полярным

углом ϕ0 ≤ ϕmax,

ϕ0

Aкр (ϕ0 ) = −μmR ∫ Rω2 + g cos ϕ dϕ или Aкр (ϕ0 ) = −μmRI (ϕ0 ) ,

0

ϕ0

где I (ϕ0 ) = ∫ Rω2 + g cos ϕ dϕ.

0

Интеграл I(ϕ0) не зависит ни от массы тела m, ни от коэффициента трения μ. Следовательно, работа силы трения на круговом участке прямо пропорциональна коэффициенту трения и массе тела (также как и на линейном участке, и при движении по плоскости).

2. Зависимость работы силы трения от длины пути, пройден-

ного телом. Характер зависимости работы силы трения от длины пройденного телом пути определяется интегралом

16

силы трения. Однако характер этой зависимости нелинейный, так как в процессе движения изменяется сила реакции опоры.

Проанализируем взаимосвязь характера зависимости (возрастания) модуля работы силы трения с характером изменения силы реакции опоры. В начале пути по круговому участку направляющей сила трения максимальна, поэтому модуль работы силы трения резко возрастает. По мере подъема сила трения уменьшается (рис. 6в), и работа силы трения увеличивается медленнее. В области, где сила реакции опоры меняет направление, сила трения вновь начинает возрастать, а работа силы трения начнет увеличиваться быстрее (рис. 7). Таким образом, зависимость модуля работы силы трения от длины пути при движении по круговому участку направляющей является нелинейной в отличие от движения на линейном участке или на плоскости.

3. Зависимость работы силы трения от радиуса R направляю-

щей можно проанализировать самостоятельно.

Для количественного анализа рассмотрим, как можно рассчитать интеграл I(ϕmax) по экспериментально полученной зависимости ϕ(t) полярного угла от времени при движении по круговому участку направляющей.

Численный расчет интеграла I(ϕmax) с использованием

экспериментальных данных

Для численного расчета интеграла

17

на интервале интегрирования [0, ϕmax] выбирают некоторое (достаточно большое) количество точек 0, ϕ1, ϕ2, … ϕk, … , ϕmax. Тогда искомый интеграл I(ϕmax) можно представить как сумму интегралов

Если каждый из отрезков [ϕi – 1, ϕi] можно считать малым, то силу реакции опоры |Rоп/m|, отнесенную к массе тела, на этом отрезке можно считать постоянной и равной Rоп / m срi – среднему значению на отрезке

[ϕi – 1, ϕi]. Тогда интеграл

Следовательно, искомый интеграл I(ϕmax) можно приближенно рассчитать как

Для каждого отрезка [ϕi – 1, ϕi] очевидно, что среднее значение угла ϕсрi равно

ϕсрi = 12 (ϕi + ϕi −1 ) .

Если из эксперимента известно, в какой момент времени ti тело находилось на высоте hi, то можно определить соответствующий этой высоте полярный угол

Среднюю угловую скорость ωсрi при движении по отрезку [ϕi – 1, ϕi]

18