Определение. Пусть в области с непрерывной границей г в декартовой системе координат поставлена краевая задача, то есть ищется решение дифференциального уравнения

, , (1)

с краевыми (граничными, начальными) условиями

, Г, (2)

где и – линейные дифференциальные операторы; и – заданные функции.

Введем прямоугольную сетку с узлами

и сеточные функции

.

Область Г приближенно заменим дискретным множеством точек – сеточной областью , а производные, входящие в (1)–(2), – разностными отношениями. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений:

, (3)

где и – разностные операторы.

Семейство уравнений (3), зависящее от параметра , называется разностной схемой.

Разностную схему при конкретном значении будем называть разностной задачей

5.16 Привести шаблоны для разностных аналогов частных производных первого порядка

Производная	Разностный аналог производной	Шаблон

5.17 Привести шаблоны для разностных аналогов частнх производных второгоо порядка

Производная	Разностный аналог производной	Шаблон

5.19Записать разностное уравнение для уравнения Пуассона в краевой задаче

,

5.20 Записать разностную схему краевой задачи для уравнения Пуассона

5.21.Какое уравнение лежит в основе решения краевой задачи для уравнения Пуассона итерационным методом

5.22.Записать непрерывную математическую модель краевой задачи математической физики для уравнения теплопроводности

5.23.Дать описание дискретной области переменных для дискретизации краевой задачи математической физики для уравнения теплопроводности

5.24.Привести разностное уравнение процесса дискретизации краевой задачи математической физики для уравнения теплопроводности

5.25.Записать разностную схему краевой задачи математической физики для уравнения теплопроводности

i=1,n-1 j=1, m-1

6.1.Описать дискретизацию граничных условий первого рода в краевой задаче матфизики для ур-я тепл-ти

6.2.Описать дискретизацию граничных условий второго рода в краевой задаче матфизики для ур-я тепл-ти

6.3.Сформудировать условие устойчивости разностной схемы краевой задачи матфизики для уравнения теплопроводности

6.4 Дать определение слоя

Совокупность узлов I и j , одна из переменных имеет постоянные значение

6.5 Почему итерационный метод не применим к решению разностной схемы краевой задачи математической физики для уравнений теплопроводности.

удобно использовать метод бегущего счета (последовательно вычисляя из слои), т к значения определяется из краевых условий

6.6 Метод «бегущего счета» решения разностной схемы для краевой задачи для уравнений теплопроводности.

Частный случай краевой задачи. Для построения разностной схемы введем прямоугольную сетку в области измерения переменных D=

7.1 Дать определение технической диагностики.

Совокупность методов установления и изучения признаков, характеризующих наличием дефектов в машинах, устройствах их узлов, элементов.

7.2 дать определение вычислительной диагностики.

Вычисление количественных или начальных характеристик Х различных материальных объектов по измеренной косвенной информации о них.

7.3 Привести операторное уравнение вычислительной диагностики.

y=Ax

7.4 Что является косвенной информацией в уравнении вычислительной диагностики y=Ax.

y- косвенная информация

7.5 Чем определяется оператор в уравнении y=Ax

Оператор А определяется природой величины Х и У и методом регистрации косвенной информации У.

7.6 Что представляет собой оператор А в уравнении вычислительной диагностики.

Оператор А это суперпозиция операторов, каждый из которых описывает либо физические процессы, происходящие при распространении излучения в исследуемых объектах и измеряемой амплитуде, либо формальные связи межу регистрируемыми и определяемыми характеристиками.

7.7 Какое направление вычислительной диагностики наиболее активно развивается в настоящее время.

Вычислительная томография

7.8 Сколько необходимо сделать измерений для получения единственного набора количественных характеристик Х по измеренной косвенной информации о них.

Количество измерений должно быть не меньше числа неизвестных. Ранг равен числу неизвестных.

7.9 Определение скалярного поля.

Скалярным полем называется пространство, в каждой точке Р которого определена скалярная функция U =U(P)

7.10 Перечислите характеристики скалярного поля.

Линии уровня, градиент функции и производная по направлению вектора.

7.11 Определение линии уровня.

Функции уравнения U(M)=C

7.12 Определение поверхностей уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля u=u(x,y,z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение C, то есть поверхность уровня определяется уравнением u(x,y,z)=C .

7.13 Определение градиента функции.

Вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

W=f(x,y,z) Grad U=

7.14 Свойство градиента функции, проведенного к линии (поверхности) уровня.

Основное свойство градиента в данной точке перпендикулярна линии проходящей через эту точку.

7.15. Что задаёт градиент функции.

Градиент задаёт направление наибольшего роста функции в данной точке.

7.16. Что характеризует длина градиента вектора.

Длина градиента вектора характеризует наибольшую скорость изменения поля в данной точке.

7.17. Определение производной функции по направлению вектора.

это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

7.18. Физический смысл производной по направлению.

Скорость изменения функции по при движении в данном направлении

7.19. Чему равна производная по направлению перпендикулярному градиенту функции.

Производная по направлению перпендикулярному градиенту функции равна 0.

7.20. Когда производная по направлению принимает наибольшее значение.

Производная поля по направлению принимает наибольшее значение, когда выбранное направление совпадает с направлением градиента, в этом случае производная принимает своё наибольшее значение, модуль градиента.

7.22. Как задаётся векторное поле.

Векторное поле задаётся векторной функцией точки:

= (M)= (x,y,z)=P(x,y,z) +Q(x,y,z) +R(x,y,z) =(P,Q,R);

7.23. Перечислите характеристики векторного поля.

Ротор; вихрь; дивергенция; линии тока.

7.24. Как задаются линии тока.

Линии тока- это силовые или векторные линии поля, которые задаются системой ДУ(дифференциальных уравнений):

= = ;

7.25. Дать определение ротора.

Ротор(вихрь)- определяет меру и направление завихрённости силовых линий.

rot =

7.26. Сформулировать условие потенциальности поля в односвязной области.

Поле называется потенциальным в односвязной области, если rot =0.

7.27. Физическая трактовка вихря.

υ = ω × r ,

где  ω  – мгновенная угловая скорость;  r  – радиус-вектор, проведенный из центра вращения в произвольную точку тела.

      Координаты вектора  υ  равны

      Вычислим  rot υ :

 

      Таким образом, ротор вектора скорости  υ  характеризует "вращательную компоненту" поля скорости:   .

7.28. Дать определение дивергенции.

Дивергенция(расходимость)-определяет наличие источников истоков в области G,где мы рассматриваем наше поле.

div = + + ;

7.29. Что определяет дивергенция.

Определяет наличие источников истоков в области G,где мы рассматриваем наше поле.

7.30 Какое поле называется соленоидальным: Если векторное поле не имеет источников или истоков, то оно называется соленоидальным.

7.31 Сформулировать условие соленоидальности поля: Дивергенция

8.1 Определение потока векторного поля через заданную поверхность:

Поток векторного поля, через поверхность  σ, с единичной нормалью n вычисляется , как поверхностный интеграл второго рода.

П=

Z=

S-проекция поверхности

8.2 Как задается знак в формуле потока векторного поля

Знак выбирается в зависимости от угла между нормалью и z , если он острый , то «+», если тупой «-»

8.3 Для какой поверхности при вычислении потока векторного поля справедлива теорема Гаусса –Остроградского: Для замкнутой поверхности

8.4 Выписать формулу Гаусса –Остроградского

П=

8.5 В чём состоит суть теоремы Гаусса –Остроградского

выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхность о есть интеграл от дивергенции векторного поля  , распространённый по некоторому объёму  , равен потоку вектора через поверхность  , ограничивающую данный объём.

8.6 Определение циркуляции векторного поля

Циркуляция векторного поля по замкнутому ,ориентированному контуру , определяется, как криволинейный интеграл второго рода

Г=