1. Цель решения современных инженерных задач.

точное решение таких задач играет большую роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов

К современным инженерным задачам относятся, например:

1. Создание новой конструкции.

2. Разработка нового технологического процесса или новой технологии (компьютера).

3. Разработка оптимального процесса.

2. На основании чего принимается решение в современных инженерных задачах.

В основе этих задач лежит процесс принятия решения. Решение принимается на основе данных, экспериментальных или вычислительных.

3. Особенности современных инженерных задач.

1. Инженерные задачи имеют выраженную практическую направленность, из чего следует доведение результатов до конкретных графиков, чисел, таблиц и т.д.

2. Большой объём вычислительной работы, сопровождающей решения и необходимость использовать современные вычислительные средства.

3. Для этих задач характерно использование достаточно сложных математических моделей и серьёзного математического аппарата.

4. Наличие и относительная доступность массового пользователя современного программного обеспечения.

4. Каким наиболее часто используемым методом решаются современные инженерные задачи.

Основной метод решения современных инженерных задач - это вычислительный эксперимент.

5. Основные этапы вычислительного эксперимента.

1. Инженерная постановка задачи.

↓

2. Математическая модель задачи (ключевой этап решения задачи).

↓

3. Дискретная модель.

↓

4. Выбор численного метода и его реализации.

↓

5. Обработка результатов.

6. Дать определение математической модели.

Математическая модель – приближённое описание внешнего мира, выраженного с помощью математических символов.

7. Дать определение математического моделирования.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

8. Сформулировать этапы процесса математического моделирования.

Процесс математического моделирования можно, условно, разделить на 4 этапа:

1. Формулирование законов, связывающих основные объекты модели на языке той или иной науки. Запись в математических терминах, сформулированных качественных представлений о связях между объектами моделей.

2. Исследования математической задачи, к которой приводится математическая модель (метод решения, алгоритм, программа, расчёт).

3. Анализ результатов (Выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики; согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими средствами моделей в пределах точности наблюдений).

4. Последующий анализ модели, в связи с накоплением данных об изучаемом объекте. Модернизация модели.

9. Общая характеристика численных методов.

Среди численных методов алгебры существуют прямые методы, в которых решение получается за конечное число операций, и итерационные методы, в которых результат получается за бесконечное число операций.

10. Какой процесс называется дискретизацией задачи.

Это процесс преобразования непрерывной функции в дискретную.

11. Дать определение вычислительной модели.

Вычислительная модель - типовая абстрактная или конкретная задача, соответствующая проблеме численного решения некоторого класса математических или прикладных задач.

12. Причины возникновения погрешности решения вычислительной задачи.

Наличие погрешности обусловлено рядом причин:

1. Математическая модель является только приближённым описанием реального процесса.

2. Исходные данные содержат погрешности (либо экспериментальные, либо вычислительные).

3. Численные методы также могут давать приближённое решение задачи.

4. Вклад в погрешность решения вычислительной погрешности, возникающей в ходе округления действий арифметических операций.

13. Описать структуру вычислительной погрешности.

Пусть а – точное значение некоторой величины (неизвестное).

- приближённое значение искомой величины (известное).

14. Что называется неустранимой погрешностью.

Неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, явля­ющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи.

15. Что называется ошибкой (или погрешностью) приближённого числа.

Ошибкой (погрешностью) приближённого числа называется разность между точным и приближённым значениями. а- .

16. Количественные меры ошибки.

Количественными мерами ошибки являются абсолютная и относительная погрешности.

1.17. Определение Абсолютной погрешности.

 Если а - точное значение некоторой величины, а а* - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения  а* называют обычно некоторую величину  , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

1.18 Определение Относительной погрешности.

Относительной погрешностью называют некоторую величину  , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине.

2.1. Сформулировать правило оценки абсолютной погрешности алгебраической суммы 2 чисел.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел;

2.2. Сформулировать правило оценки абсолютной погрешности произведения 2 чисел.

При вычислении произведения нескольких приближенных чисел применяют следующие правила:

- округляют эти числа так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащие цифры больше, чем число верных значащих цифр в наименее точном из сомножителей;

- в результате умножения сохраняют столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.

2.3. Сформулировать правило оценки абсолютной погрешности частного 2 чисел.

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.

2.4. Сформулировать правило оценки относительной погрешности алгебраической суммы 2 чисел.

Относительная погрешность произведения и частного нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, равна сумме относительных погрешностей этих чисел.

2.5. Сформулировать правило оценки относительной погрешности произведения 2 чисел

Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей множителей  .

Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел Чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно:

1)округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей;

2)в результате умножения сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.