Теория Вероятностей 2 курс 1 вариант

Контрольная работа по дисциплине

« ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ »

Вариант 1

1. Задание:

Числа натурального ряда 1, 2, 3, …., n расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.

Решение:

Вероятность расположения чисел 1-2 такая же как и в одной оставшейся перестановке (2-1) и эти два равновероятных случая исчерпывают все возможные расклады, значит вероятность составляет 1/2.

----------------

2. Задание:

Три станка работают независимо. Вероятность того что первый станок в течение смены выйдет из строя равна 0.1, для второго и тетьего станков эти вероятности соответственно 0.2 и 0.3. Найти вероятность того, что в течение смены:

1)Только один станок не выйдет из строя.

2)Не выйдут из строя только два станка.

3)Три станка выйдут из строя.

4)Хотя бы один станок не выйдет из строя.

Решение:

1 станок выход из строя - p1 = 0.1

2 станок выход из строя - p2 = 0.2

3 станок выход из строя - p3 = 0.3

1 станок продолжит работу - q1 = 0.9

2 станок продолжит работу - q2 = 0.8

3 станок продолжит работу - q3 = 0.7

1)Только один станок не выйдет из строя. P(x) = p1 * p2 * q3 + p1 * q2 * p3 + q1 * p2 * p3

0.1*0.2*0.7 + 0.1*0.8*0.9 + 0.9*0.2*0.3 = 0.014 + 0.072 + 0.054 = 0.14

2)Не выйдут из строя только два станка.

P(x) = p1 * q2 * q3 + q1 * p2 * q3 + q1 * q2 * p3

0.1*0.8*0.9 + 0.9*0.2*0.7 + 0.9*0.8*0.3 = 0.072+0.126+0.216 = 0.414

3) Три станка выйдут из строя. P(x) = p1 * p2 * p3

0.1*0.2*0.3 = 0.006

4) Хотя бы один станок не выйдет из строя. P(x) = 1 - p1 * p2 * p3

1 - 0.1*0.2*0.3 = 0.994

----------------

3. Задание:

Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 30% - второго завода, 20% третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0.7, для второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.75. Найти вероятность того, что:

1)На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.

2)Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.

Решение:

1 завод отличное качество - р1 = 0.7

2 завод отличное качество - р2 = 0.8

3 завод отличное качество - р3 = 0.75

1)На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.

Вероятность удачной детали равна сумме вероятностей деталей хорошего качества для каждого завода.

P(x) = (50/100)*0.7 + (30/100)*0.8 + (20/100)*0.75 = 0.35+0.24+0.15 = 0.74

2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом. По формуле Байеса Р(1) = 0.2*0.75/0.74 = 0.2

----------------

4. Задание:

Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна p. Имеется k независимо работающих автоматов.

Найти:

1)Вероятность того, что:

А) будут работать в данный момент равно m автоматов. Б) будут работать не болеее m автоматов.

2) наивероятнейшее число работающих автоматов среди k автоматов. p = 0.55; k = 7; m = 4;

Решение:

p = 0.55; k = 7; m = 4; q = (1 - p) = 1 - 0.55 = 0.45

1. Вероятность того, что будут работать в данный момент m автоматов.

2. Вероятность того, что будут работать не болеее m автоматов. По теореме сложения несовместных событий#* = (7! / 0! * 7!) * (0.55)0 * (0.45)7 = 0.0037366

#+ = (7! / 1! * 6!) * (0.55)1 * (0.45)6 = 7 * 0.55 * 0.00830 = 0.031969#, = (7! / 2! * 5!) * (0.55)2 * (0.45)5 = 21 * 0.3025 * 0.018452 = 0.11722#& = (7! / 3! * 4!) * (0.55)3 * (0.45)4 = 35 * 0.1663 * 0.041 = 0.23867

#$ = (7! / 4! * 3!) * (0.55)4 * (0.45)3 = 35 * 0.0915 * 0.091125 = 0.29182

P(m == 4) = 1 – ( #* + #++ #, + #& + #$ ) = 1 – (0.0037366 + 0.031969 + 0.11722 + 0.23867 + 0.29182) = 1 – 0.68118 = 0.31

----------------

5. Задание:

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:

А) шесть вызовов.

Б) менее шести вызовов.

Решение:

1. вероятность того, что за две минуты поступит 6 вызовов

математическое ожидание числа вызовов за 2 минуты равно L = 2*4 = 8 P(k) = l^k*e^(-l)/k!

P(k) = 8^6*e^(-8)/6! = 262144*0.000335/720 = 87.81824/720 = 0.1219

2. вероятность того, что за две минуты поступит менее 6 вызовов т.е. 5 и менее вызовов

P(k<6) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

P(0) = 8^0*e^(-8)/0! = 1*0.000335/1 = 0.000335

P(1) = 8^1*e^(-8)/1! = 8*0.000335/1 = 0.00268

P(2) = 8^2*e^(-8)/2! = 64*0.000335/2 = 0.01072

P(3) = 8^3*e^(-8)/3! = 520*0.000335/6 = 0.02903

P(4) = 8^4*e^(-8)/4! = 4096*0.000335/24 = 0.05717

P(5) = 8^5*e^(-8)/5! = 32768*0.000335/120 = 0.091477

P(k<6) = 0.000335 + 0.00268 + 0.01072 + 0.02903 + 0.05717 + 0.091477 = 0.191412

----------------

6. Задание:

На конвейер за смену поступает n изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна p. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m.

n = 300; p = 0.75; m = 240;

Решение:

Локальная теорема Лапласа

n = 300; общее кол-во изделий

p = 0.75; вероятность что деталь на конвейре стандартна

m = 240;

q = 1 - p; вероятность не стандартной детали

npq = 300*0.75*(1-0.75)= 56.25

Pn(m) = 1/(sqrt(npq))*fi(x), fi(x)= 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2), x = (m-n*p)/(sqrt(npq))

x = (m-n*p)/(sqrt(npq)) = (240 - 300 * 0.75) / (sqrt(300*0.75*(1-0.75))) = 15/7.5 = 2

fi(2) = 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2) = 1 / (sqrt(2*3,14))^e^-(2^2 / 2) = 0.3850

P300(240) = 1/7.5 * 0.3850 = 0.133 * 0.3850 = 0.0513

Вероятность того, что что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m = 0.0513

----------------

7. Задание:

Определить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины; построить функцию распределения F(x), если закон распределения этой случайной величины имеет вид:

Находим математическое ожидание:

М[x] = ∑ х( ) ( ) = 12*0.2+14*0.1+18*0.3+24*0.2+27*0.2 = 2.4+1.4+4.8+5.4 = 14

Находим дисперсию: D(X) = M(X²) - [M(X)]²

M(X²) =∑x²(i)*p(i) = 122*0.2+142*0.1+182*0.3+242*0.2+272*0.2 = 28.8+19.6+97.2+115.2+145.8 = 406.6

[M(X)]² = (14)² = 196 D(X) = 406.6 – 196 = 210.6

Находим среднее квадратическое отклонение: σ(X) = √D(X) = √210.6 = 14.512

Составим функцию распределения:

F(x)=P(X<x)

1. F(x)=P(X<12)=0

2.F(x)=P(X<14)=P(X=12)=0,2

3.F(x)=P(X<18)=P(X=12)+P(X=14)=0,2+0,1=0,3

4.F(x)=P(X<24)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)=0,2+0,1+0,3=0,5

5.F(x)=P(X<27)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)+P(X=24)=0,5+0,4=0,9

6.F(x)=P(X>27)=0,9+0,1=1

Компактная запись функции распределения - система: {0, x ≤ 12

{0.2, 12 < x ≤ 14 F(x)=P(X < x) ={0.3, 14 < x ≤ 18 {0.5, 18 < x ≤ 24 {0.9, 24 < x ≤ 27

{1, x > 27

----------------

8. Задание:

Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0.6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины Х.

Решение:

P(k) = Cnkpkqn-k Формула Бернулли P(0) = 0.43 = 0.064

P(1) = 3*0.42*0.6 = 3*0.16*0.6 = 0.288

P(2) = 3*0.4*0.62 = 0.432

P(3) = 0.63 = 0.216

P(A) = 0.064+0.288+0.432+0.216 = 1

----------------

9. Задание:

Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x).

Найти:

А) дифференциальную функцию (плотность вероятности) f(x); Б) математическое ожидание и дисперсию.

В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);

1, при > 1

Решение:

Найдем плотность распределения случайной величины Х как производную функции распределения:

0, при ≤ 0 f(x) = ′( ) = =2 , при 0 < ≤ 1;

0, при > 1

Найдем метаметическое ожидание:

Найдем дисперсию:

вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0.5; 2). Р( 0.5 < X < 2) = F(2) – F(0.5) = 1 – (0.5)2 = 1 – 0.25 = 0.75

Плотность распределения f(x)

Плотность распределения F(x)

-------------------

11. Задание:

Для нормально распределенной случайной величины Х известны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

Найти:

А) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( , ); Б) вероятность того, что абсолютная величина разности Х – окажется меньше .

Б) Р (|X - a| < 8) = 2Ф( 6$ )= 2*0.47772 = 0.9544

-------------------

12. Задание:

Обработка вариационного ряда. Гистограмма. Полигон. Задана совокупность вариационных (статистических) рядов.

1.Найти: а) моду и медиану; б) среднее выборочное; в) статистическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

2.Построить гистограмму распределения.

3.Найти теоритические частоты при гипотезе, что случайная величина распределена нормально.

4.Построить полигон распределения и теоритическую кривую распределения.

5.Применить критерии Пирсона и Колмогорова для проверки гипотезы о нормальности распределения.

6.Построить доверительный интервал для стреднего при доверетельной вероятности 0.8.

Решение:

Таблица для расчета показателей.