матанал / matan_kollok_3_sem

1. Гладкая поверхность. Ориентация поверхности. Площадь поверхности.

Поверхность называют гладкой, если она удовлетворяет трем условиям:

1) Множество D является замкнутым ограниченным элементарным мн-вом, граница γ которого представляет собой простой кусочный гладкий контур, а отображение, задаваемое рав-вами: x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), (u, v) ∈ D ⊂ R² взаимно однозначно на мн-ве внутренних точек D.

2) Функции x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и их частные производные первого порядка непрерывны на мн-ве D вплоть до контура γ.

3) Хотя бы один из якобианов отличен от нуля D(x,y)/D(u,v), D(y,z)/D(u,v), D(z,x)/D(u,v) при любых значениях х и у.

Выделение одной из сторон поверхности Ф с помощью параметризации называется ориентацией поверхности Ф.

Предел σ(T) при стремлении диаметра разбиения к нулю (h → 0) называют площадью поверхности Ф и обозначают через S, где σ(T) – сумма всех разбиений фигуры Ф на параллелограммы.

.

2. Поверхностный интеграл первого рода и теорема о его существовании.

Пусть существует предел I интегральной суммы (где ) при стремлении диаметра разбиения измеримых по Жордану мн-в к нулю ( → 0), тогда I называют поверхностным интегралом первого рода от функции f по поверхности Ф. .

Т. о существовании поверхностного интеграла первого рода. Пусть Ф – гладкий контур, - его параметрическое представление. Тогда поверхностный интеграл существует и может быть вычислен по формуле: .

Док-во. Обозначим . Тогда , где – колебание функции f на мн-ве . Последнее выражение стремится к нулю при → 0 в силу непрерывности функций f и на замкнутом мн-ве D. Таким образом, предел интегральной суммы равен при → 0.

3. Поверхностный интеграл первого рода и его св-ва.

Пусть Ф – гладкая поверхность с параметрическим представлением и на поверхности Ф заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Определим поверхностные интегралы второго рода:

(можно записать в виде подынтегральной суммы).

Св-ва:

1) При смене ориентации поверхности интеграл меняет знак.

2) Интеграл обладает св-вом линейности (можно вытащить сумму Σ за знак интеграла).

3) Если поверхность Ф разбита на конечное число частей Ф_к 1<=k<=n, не имеющих общих внутренних точек, то .

4) Интеграл по цилиндрической поверхности Ф с образующей, параллельной оси Oz, равен нулю.

4. Формула Стокса.

Пусть в некоторой области G, полностью содержащей поверхность Ф, заданы непрерывно дифференцируемые функции P,Q,R. Тогда имеет место ф-ла Стокса:

Док-во. Док-м .

Преобразуем левую часть. Пусть контур L* задан параметрически u = u(t), v = v(t), t ∈ T = [t1, t2]. Тогда ур-ия, задающие контур L: x = x(u(t),v(t)), y = y(u(t),v(t)), z = z(u(t) v(t)), t ∈ T.

По ф-лам для вычисления интеграла второго рода: .

Для правой части применим ф-лу Грина: .

Аналогично для Q и R. Суммируя полученные рав-ва, получим ф-лу Стокса.

5. Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть V – простая замкнутая область, граница Ф которой положительно ориентирована. Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывно дифференцируемы в области G, содержащей Ф, то верна ф-ла Остроградского-Гаусса: .

Док-во. Док-м одно из трех равенств: . Док-м для замкнутой правильной области V по направлению оси Оz. По правилу вычисления тройного интеграла: .

Простую область V разобьем на m частичных областей V_k, k = 1,…,m, правильных в направлении оси Оz, ограниченных кусочно гладкими поверхностями Ф_k. Тогда . Просуммировав, получим: . Для P,Q аналогично.

6. Тригонометрическая система, ортогональность тригонометрической системы и свойства интеграла от периодической функции.

Система функций ½,cos x, sin x, cos 2x,sin 2x,…,cos nx, sin nx, … называется тригонометрической системой.

Две функции f и g, интегрируемые на [a,b], называют взаимно ортогональными, если .

Т. об ортогональности тригонометрической системы. Любые две функции тригонометрической с-мы взаимно ортогональны на .

Док-во. При k<>n:

1) .

2) .

3) (аналогично для sin(kx)*sin(nx) и sin(kx)*cos(nx)).

Т. св-во интеграла от периодической ф-ции. Пусть функция . Тогда при любом .

Док-во. .

Сделаем замену x=t+2π в третьем слагаемом: . Складывая, получим ф-лу из определения теоремы.

7. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье. Ядро Дирихле.

Функциональный ряд называется тригонометрическим рядом, где a0,a1,b1,…,an,bn,… - вещественные числа – его коэффициенты.

Пусть функции f определена и интегрируема на [-π, π]. Тогда числа a0,a1,b1,…,an,bn, вычисленные по ф-лам:

наз. коэфф. Фурье, а ряд с этими коэфф. наз. рядом Фурье функции f.

Функцию назыв. ядром Дирихле.

8. Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле.

Т.Дирихле. Пусть ф-ция . Тогда частная сумма ряда Фурье ф-ции f может быть представлена в виде: , где .

Док-во. Пусть ф-ция . Рассм. частную сумму ее ряда Фурье в фиксированной точке х: .

Подставим вместо коэф. выражения и получим: .

Сделаем замену t=x+u: .

9. Т. Римана-Лебега. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда .

10. Принцип локализации Римана.

Т. принцип локализации Римана. Пусть функция . Тогда при любом a∈(0, π) частная сумма ряда Фурье функции f может быть представлена в виде: .

Док-во. .

Обозначим .

На отрезке [a, π] функция непрерывна и справедлива оценка . Поэтому функция интегрируема на отрезке [a, π]. Тогда по т. Римана-Лебега .

11. Признак Дини поточечной сходимости рядов Фурье и три следствия.

Т. Признак Дини поточечной сходимости рядов Фурье. Пусть функция . Если при некотором фиксированном х сходится интеграл , где А – некоторое число, то в этой точке х ряд Фурье функции f сходится и имеет своим пределом числа А.

Док-во. . Если сходится , то сходится , т.к. при . Тогда согласно обобщению т.Римана-Лебега: , т.е. .

Следствия:

1) Пусть функция и дифференцируема в точке х. Тогда .

2) Пусть функция и существуют левосторонняя и правосторонняя производные. Тогда .

3) Пусть функция и существуют конечные пределы: . Тогда .

12. Некоторые особенности рядов Фурье: ряды Фурье четных и нечетных функций, разложение в ряд Фурье на промежутке [0,π], разложение в ряд Фурье на промежутке [-l,l].

Ой фу лень писат надеюсь этого вопроса не будет ыыыы если что в методичке стр 31-33

13. Средние Фейера и их представление интегралом Фейера.

Пусть функция , . Средними Фейера называют .

Т. Пусть функция . Тогда верно представление интеграла Фейера наз. ядром Фейера.

Док-во. Докажем только ядро Фейера, т.к. в силу этой верности, т.Дирихле и определения средних Фейера теорема будет верна. .

.

14. Теорема о суммируемости ряда Фурье методом средних арифметических в точках разрыва. Пусть функция И в точке х сущ. предел . Тогда в точке х .

Док-во. Пусть е > 0. Тогда .

.

. Тогда .