матанал / Matan
.docx1. Ограниченные множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Свойства граней. Теорема о существовании верхней грани.
2. Счетные множества и их свойства. Теорема о несчетности интервала. Множества мощности континуум.
3. *Ограниченные последовательности. Достаточное условие ограниченности последовательности.
4. *Бесконечно малые последовательности. Теорема об арифметических действиях над бесконечно малыми последовательностями.
5. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
6. *Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
7. *Порядковые свойства предела. Переход к пределу в неравенствах.
8. *Порядковый признак существования предела.
9. *Арифметические свойства предела последовательности.
10. *Монотонные последовательности и теорема Вейерштрасса.
11. *Лемма о вложенных отрезках.
12. Подпоследовательности и частичные пределы последовательности. Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности.
13. Верхний и нижний пределы последовательности. Корректность определения. Свойства верхнего и нижнего пределов.
14. *Теорема Больцано-Вейерштрасса.
15. Фундаментальные последовательности. Теорема об ограниченности фундаментальной последовательности.
16. *Критерий Коши сходимости последовательности.
17. Определения Гейне и Коши предела функции в точке. Теорема об их эквивалентности.
18. Критерий Коши существования предела функции.
19. Односторонние пределы функции, связь с пределом.
20. *Арифметические свойства предела функции.
21. Порядковые свойства предела функции.
22. Теорема о пределе сложной функции.
23. Непрерывность функции в точке. Свойства функций непрерывных в точке.
24. *Непрерывность функции на множестве. Теорема об обращении функции в нуль и теорема Коши о промежуточных значениях функции.
25. Компакт, критерий компактности.
26.
*Теорема
о непрерывном образе компакта. Первая
и вторая теоремы Вейерштрасса.
27. Равномерная непрерывность функции и теорема Кантора.
28.
Односторонние пределы. Точки разрыва
функции и их классификация. Теорема об
односторонних пределах монотонной
функции.
29. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности обратной функции.
30. *Дифференцируемость функции в точке, производная функции в точке. Непрерывность дифференцируемой функции. Теорема о дифференцируемости композиции.
31. *Теорема об арифметических действиях над дифференцируемыми функциями.
32. *Теорема о дифференцируемости обратной функции.
33. *Точки роста и убывания функции, их достаточные условия. Точки экстремума и теорема Ферма.
34. *Теорема Ролля.
35. *Теоремы Коши и Лагранжа. Следствия теоремы Лагранжа.
36. Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора-Пеано.
37. Правила Лопиталя.
38.
*Достаточные
условия экстремума.
39. Критерии выпуклости функции.
40. *Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.
41. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости.
42. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы. Критерий интегрируемости.
43. *Теоремы об интегрируемости непрерывных функций и монотонных функций.
44. Свойства интеграла Римана.
45. *Непрерывность интеграла по верхнему пределу интегрирования.
46. *Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
47. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле Римана.
