Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

АИГ / zachet АЛГЕМ

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
18.08.2022
Размер:
258.52 Кб
Скачать

Линейная алгебра

Системы линейных уравнений

Элементарные преобразования системы линейных уравнений и элементарные преобразования строк матрицы

Элементарные преобразования системы линейных уравнений сохраняют множество ее решений, т.е. приводят к равносильной системе.

Следующие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными:

1.Перестановка двух уравнений

2.Умножение обеих частей некоторого уравнения системы на некоторое число 6= 0

3.Прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент

4.Добавление или отбрасывание уравнения вида 0 x1 +0 x2 + +0 xn = 0.

Âрезультате элементарных преобразований строк матриц сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

1.Перестановка двух строк матрицы.

2.Умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

3.Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Приведение системы линейных уравнений к ступенчатому виду (метод Гаусса)

Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

1

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду:

1.В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент). Строку с ведущим элементом (ведущая строка), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2.Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3.К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4.Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Теорема о системах однородных линейных уравнений

8

2

2

 

 

 

 

 

2

 

a11x1 + a21x2 +

 

 

 

 

+ an1 xn = b1

(1)

>a1x1 + a2x2 + + anxn = b2

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>a1mx1 + a2mx2

+

 

+ anmxn = bm

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

1

1

+

 

 

 

 

 

 

1

 

: a1x1

+ a2x2

 

+ anxn = 0

 

8

2

2

 

 

 

 

2

(2)

>a1x1

+ a2x2

+

+ anxn = 0

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>a1mx1 + a2mx2

+

 

+ anmxn = 0

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

>

>

>

:

Теорема.

I Совокупность всех решений системы однородных линейных уравнений с n неизвестными является подпространством пространства Kn(K = R).

2

II Совокупность всех решений произвольной совместной системы линейных уравнений есть сумма какого-либо одного е¼ решения и подпространства решений системы однородных линейных уравнений с той же матрицей коэффициентов.

Доказательство.

I Рассмотрим систему (2). (0; 0; : : : ; 0) решение (2).

Пусть вектора ~u(u1; u2; : : : ; un); ~v(v1; v2; : : : ; vn) решение (2). ~u + ~v = (u1 + v1; u2 + v2; : : : ; un + vn). Подставляем в (2):

ai1(u1 + v1) + ai2(u2 + v2) + + ain(un + vn) = 0; i = 1; : : : ; m ai1u1 + ai2u2 + + ainun = 0, т.к. ~u решение (2)

ai1v1 + ai2v2 + + ainvn = 0, т.к. ~v решение (2)

ai1u1 + ai2u2 + + ainun + ai1v1 + ai2v2 + + ainvn = 0~u = ( u1; u2; : : : ; un)

~u решение (2) =) ~u решение (2).

II ~u(u1; u2; : : : ; un) решение (2) w~(w1; w2; : : : ; wn) решение (1)

~u + w~ = (u1 + w1; u2 + w2; : : : ; un + wn)

ai1(u1 + w1) + ai2(u2 + w2) + + ain(un + wn) = bi; i = 1; : : : ; m ai1u1 + ai2u2 + + ainun = 0, т.к. ~u решение (2)

ai1w1 + ai2w2 + + ainwn = bi, т.к. w~ решение (1)

ai1u1 + ai2u2 + + ainun + ai1w1 + ai2w2 + + ainwn = bi

w~

0

(w0 ; w0

; : : : ; w0 ) решение (1)

 

 

1

2

n

 

w~ w~0

решение (2)

+ u~0

w~

 

 

w~0

= u~0 = w~ = w~0

 

 

 

 

)

 

Понятие размерности конечномерного линейного пространства

Размерностью конечномерного линейного пространства V называется коли- чество векторов, содержащихся в базисе V , если V 6= 0V , è 0, åñëè V = 0V .

Линейная оболочка системы векторов

Линейной оболочкой векторов a~1; a~2; : : : ; a~n 2 Rn называется множество все- возможных линейных комбинаций этих векторов:

< a~1; a~2; : : : ; a~n >= f 1a~1 + 2a~2 + + na~n j i 2 Rg

3

Свойства линейной оболочки:

1.< a~1; a~2; : : : ; a~n > является подпространством Rn

2.Линейные оболочки эквивалентных систем совпадают.

Говорят, что подпространство V натянуто на векторы a~1; a~2; : : : ; a~n 2 V , åñëè

V =< a~1; a~2; : : : ; a~n >.

Ранг системы векторов

Рангом системы векторов в линейном пространстве называют размерность линейной оболочки этой системы векторов.

Ранг системы векторов (a~1; a~2; : : : ; a~n) линейного пространства L равен:

1.Максимальному количеству линейно независимых векторов в системе

(a~1; a~2; : : : ; a~n)

2.Рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов a~1; a~2; : : : ; a~n каком-либо базисе линейного пространства L

Ранг матрицы

Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Ранг матрицы наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль.

Ранг матрицы размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Невырожденные матрицы

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

1. Матрица M обратима

4

2.Строки (столбцы) матрицы M линейно независимы

3.Ранг матрицы M равен е¼ размерности

Теорема Кронекера-Капелли Теорема. Теорема Кронекера-Капелли

8

2

2

 

 

2

 

 

a11x1

+ a21x2 +

 

 

+ an1 xn = b1

(3)

>a1x1 + a2x2 + + anxn = b2

>

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

>a1mx1

+ a2mx2 +

 

+ anmxn = bm

 

>

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

>

>

:

Система линейных уравнений совместима тогда и только тогда, когда ранг

~

расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов: rkA = rkA.

Доказательство.

Необходимость. Пусть (1) совместна. (k1; k2; : : : ; kn) - решение (1).

0a11 1

Ba2 C

B1 Ck

BC 1

@: : :A

am1

 

a21

1

an1

 

b1

1

+

0a22

0an2 1

=

0 b2

B: : :Ck2 + +

B: : :Ckn

B: : :C

 

B mC

B mC

 

B

C

 

Ba2

C

Ban C

 

BbmC

 

@

A

@ A

 

@

A

Получим, что последний столбец расширенной матрицы есть линейная комбинация остальных стобцов матрицы коэффициентов.

Остальные столбцы расширенной матрицы входят в матрицу коэффициентов, поэтому линейно выражаются через столбцы этой матрицы.

Отсюда следует, что системы столбцов матриц эквивалентны, а значит, имеют один и тот же ранг, то есть, ранги матриц равны.

~

Достаточность. rkA = rkA

Отсюда следует, что любая максимальная линейно независимая система столб-

~

цов матрицы A оста¼тся максимально линейно независимой в A.

Т.е., последний столбец расширенной матрицы ~

A линейно выражается через

систему столбцов матрицы A.

~

Значит, существуют k1; k2; : : : ; kn такие, что последний столбец A есть линейная комбинация столбцов A с коэффициентами ki, i = 1; : : : ; n, и соответственно, столбец свободных членов, а ki - решение системы.

5

Линейные отображения

Пусть U, V - действительные линейные пространства. Отображение ' : U ! V называется линейным, если:

 

 

~

 

 

~

 

 

~

2 U

 

 

1. '(~a + b) = '(~a) + (b);

 

~a; b

 

 

2. '( ~a) = '(~a);

 

2 R

 

 

 

 

Пусть (e~1; e~2; : : : ; e~n) базис U.

 

 

 

~x = x1e~1 + x2e~2 + + xne~n;

~x 2 U

 

'(~x) = '(x1e~1 + x2e~2 + + xne~n) = x1'(e~1) + + xn'(e~n)

Матрица линейного отображения

 

U = Kn; V = Km

 

 

 

 

 

 

 

 

' : Kn ! Km

 

 

 

 

 

 

 

 

(e~1; e~2; : : : ; e~n) базис Kn.

 

 

 

 

 

~

~

~

 

 

 

m.

 

 

 

 

(f1

; f2

; : : : ; fm) базис K

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ~

2 ~

+

 

m ~

 

 

 

'(e~1) = a1f1

+ a1f2

+ a1

fm

 

 

 

 

 

1 ~

2 ~

+

 

m ~

 

 

 

'(e~2) = a2f1

+ a2f2

+ a2

fm

 

 

 

: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ~

2 ~

+

 

m ~

 

 

 

'(e~3) = a3f1

+ a3f2

+ a3

fm

 

 

 

 

 

 

a11 a21 : : : an1

1

 

 

A'

=

0a12

a22

 

: : :

an2

 

матрица линейного отображения

B: : :

 

 

 

 

C

 

 

 

 

B m

m

 

mC

 

 

 

 

 

Ba1

a2

 

: : : an

C

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

Устанавливается взаимооднозначное соответствие между множеством матриц размером m n и множествами линейных отображений Kn ! Km.

Образ и ядро линейного отображения

 

' : U ! V линейное отображение

 

 

~

ÿäðî

';

ker ' U

 

ker ' = f~a 2 U : '(~a) = 0g

 

 

inf ' = f~y 2 V : '(~a) = ~y; ~a 2 Ug образ ';

inf ' U

6

Теорема о размерности ядра линейного отображения

Теорема. Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений с n неизвестными и матрицей коэффициентов A равна

n rkA.

8

2

2

 

 

2

 

a11x1

+ a21x2 +

 

 

+ an1 xn = 0

>a1x1 + a2x2 + + anxn = 0

>

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

>a1mx1

+ a2mx2 +

 

+ anmxn = 0

>

 

 

 

 

>

>

>

:

Находим общее решение системы:

8

1

 

 

n r

 

x1 = c11xr+1

+

 

+ c1n rxn

>x2 = c2xr+1 + + c2 xn

>

 

 

 

 

>

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

>

 

 

 

 

<

 

 

 

 

>xr = cr1xr+1 +

 

+ crn rxn

>

 

 

 

>

 

 

 

 

>

 

 

 

 

>

 

 

 

 

:

x1; x2; : : : ; xr главные переменные

xr+1; xr+2; : : : ; xn свободные переменные

u~1 = (c11; c12; : : : ; c1r; 1; 0; : : : ; 0) u~2 = (c21; c22; : : : ; c2r; 0; 1; : : : ; 0)

: : :

u~

= (cn 1

; cn r; : : : ; cn r; 0; : : : ; 0; 1)

n r

1

2

r

Доказательство.

Рассмотрим u~ + u~ + + u~ = 0.

1 1 2 2 n r n r

Записывая это равенство в координатах, получим, что 1 = 2 = = n r =

0. Ò.å., (u~ ; u~ ; : : : ; u~

) базис.

1 2

n r

 

Размерность пространства решений n r = n rkA.

7

Определители и их приложения

Определение определителя n-ого порядка

sgn(k1; k2; : : : ; kn) =

81;

åñëè ÷¼ò

 

 

< 1;

åñëè íå÷¼ò

Определителем матрицы n-го порядка:называется число:

k1

;kX2 n

; k2; : : : ; kn)ak11ak22 : : : aknn

det A =

sgn(k1

 

;:::;k

 

 

Элементы матрицы взяты по одному из каждой строки и каждого столбца.

Полилинейные формы

Полилинейной функцией (формой) называется функция (a~1; a~2; : : : ; a~n), линейная по каждому аргументу при фиксированных значениях других аргументов.

Число аргументов n называется степенью полилинейной формы. Форма также называется n-линейной формой.

Симметрические и кососимметрические полилинейные формы

Полилинейная форма (a~1; a~2; : : : ; a~n) называется симметрической, если при перестановке любых двух аргументов она не меняет свой знак:

(a~1; a~2; : : : ; a~l; : : : ; a~k; : : : ; a~n) = (a~1; a~2; : : : ; a~k; : : : ; a~l; : : : ; a~n)

Полилинейная форма (a~1; a~2; : : : ; a~n) называется кососимметрической, если при перестановке любых двух аргументов она умножается на -1:

(a~1; a~2; : : : ; a~l; : : : ; a~k; : : : ; a~n) = (a~1; a~2; : : : ; a~k; : : : ; a~l; : : : ; a~n)

Определитель как кососимметрическая форма

Теорема. Определитель матрицы является кососимметрической полилинейной функцией строк матрицы. Всякая функция f на множестве квадратных матриц порядка n, являющаяся кососимметрической, полилинейной функцией строк матриц, имеет вид: f(A) = f(E) det A

Åñëè f(E) = 1, òî f(A) = det A

8

Приложения определителей: формулы Крамера, формулы для нахождения обратной матрицы

Теорема. Формула Крамера

 

8

2

2

 

 

2

 

 

a11x1

+ a21x2 +

 

 

+ an1 xn = b1

 

>a1x1 + a2x2 + + anxn = b2

 

>

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

>a1mx1

+ a2mx2 +

 

+ anmxn = bm

 

>

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

m = n

>

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

a11

a21

: : : an1

1

0a12

a22

: : : an2

A = B: : :

 

 

C

B m m

mC

Ba1

a2

: : : an

C

@

 

 

 

A

Åñëè det A 6= 0, то система имеет единственное решение:

xi = det Ai

A

Доказательство.

При элементарных преобразованиях системы уравнений в матрицах A и Ai происходит элементарные преобразования строк в матрице, следовательно, формулы Крамера не меняются.

Рассмотрим случай A = E:

 

 

 

 

 

 

 

8

1

 

 

 

 

1

b1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = b11

 

 

det A =

 

 

: : :

 

= b0

 

 

 

 

 

 

 

 

>x2 = b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

0

bn

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

xn = b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi =

bi0

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Формула для нахождения обратной матрицы

 

Пусть A = (aji ); det A 6= 0;

i; j = 1; : : : ; n.

 

 

 

Тогда обратная матрица A 1 будет равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11 A21 : : : An1

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

 

 

 

1

0A12

A22 : : :

An2

1

i

 

алгебраическое дополнение

i

 

 

=

det A

 

 

; Ak

ak

 

 

B: : :

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

An1 An2 : : : Ann

9

Доказательство.

AX = E () X = A 1

Это уравнение относительно столбцов x1; x2; : : : ; xn матрицы X: Axj = Ej В координатной записи эта система n линейных уравнений относительно элементов столбца xj: (x1j ; x2j ; : : : ; xnj )

A матрица коэффициентов системы

E столбец свободных членов По формулам Крамера получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

0

?

 

 

xji =

1

 

? 1

?

=

Aji

det A

det A

 

 

: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

0

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема о ранге матрицы

Рангом ненулевой матрицы A 2 Mm n называется натуральное число k; 1 k min(m; n), удовлетворяющее условиям:

1.У матрицы A существует по крайней мере один минор k-ого порядка, отличный от нуля.

2.Если у матрицы A существуют миноры (k + 1)-го порядка, то все они равны нулю.

Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку е¼ миноров, отличных от нуля.

Алгебра многочленов

10

Соседние файлы в папке АИГ