Матлог / Matematicheskaya_logika-1

Понятие высказывания

Высказывание – утверждение, о котором можно судить истинно оно или ложно.

Логические операции над высказываниями

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинный, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание x истинно

Конъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х, у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Дизъюнкцией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Импликацией двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Формулы алгебры высказываний

Свойства алгебры высказываний описываются с помощью формул, которые строятся из переменных символов с помощью знаков логических операций. Такие формулы принято называть также пропозициональными формулами.

Формулы алгебры высказываний определяются по индукции: 1)База индукции: переменные X,Y являются формулами

2)Шаг индукции: Если , формулы, то формула является выражением.

Каждая формула = (X1,…,Xn) построенная из переменных X1,…,Xn определяет истинную функцию : {0,1}n→ {0,1}.

(K1,…,Kn) {0,1}, которая определяется по формуле: ( 1 ( 1), . . , ( )) = (( 1, … , )), где ( 1, … , ) сложное высказывание.

Функция представляется таблицей истинности:

Любая формула равносильна дизъюнкции конъюнкций переменных или их отрицанию.

Истинностные значения формул алгебры высказываний

ВИДИМО ПРОШЛЫЙ ВОПРОС

Тавтологии

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Примеры тавтологии:

Новые тавтологии можно получить с помощью правила подстановки:

Равносильность формул

Равносильные преобразования формул

Нормальные формы для формул алгебры высказываний

Методы доказательства логического следования формул

1)Прямой метод – таблица истинности

2)Алгебраический метод – равносильные преобразования

3)Алгоритм Квайна – дерево перебора

4)Алгоритм редукции – метод от противного

5)Метод семантических таблиц

6)Метод резолюций – основа логического программирования

Метод резолюций в логике (алгебре) высказываний

Алгоритм доказательства тавтологии методом резолюций:

Основная теорема метода резолюций в логике высказываний - теорема полноты резолютивного вывода.

Булевы многочлены и булевы функции

Булевы многочлены – это формулы которые используются для описания алгебраических свойств булевых алгебр, образованные булевыми переменными x, y и символами булевых операций +,*,' по следующим правилам:

1)Все булевы переменные x,y,… и символы 0,1 – булевы многочлены

2)Если p и q – булевы многочлены, то таковыми являются выражения (p)+(q), (p)*(q), (p)'