МОии / Ершова Я.В / МОИИ / ПЗ 5
.pdf
Практическое занятие №5
Идентификация законов распределения величин по результатам измерений
Цель работы: освоить методы обработки данных при идентификации законов распределения величин.
1.Общие сведения
Сцелью нахождения закона распределения случайной величины производятся сотни, а иногда и тысячи измерений. После построения эмпирического закона распределения величины необходимо построить соответствующую ему модель теоретического закона распределения, обычно путем сопоставления эмпирической модели известным теоретическим законам распределения, т. е. идентифицировать неизвестный закон распределения возможных значений измеряемой величины. Эта задача решается с помощью критериев согласия.
Критерий согласия хи квадрат (Пирсона)
Пусть произведено п независимых измерений некоторой величины X, рассматриваемой как случайная Результаты измерений для удобства представляются в виде вариационного ряда – последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего.
Далее весь диапазон измеренных значений величины разделяется на некоторое число интервалов. Число этих интервалов определяется1:
( ) |
(1.1) |
||
где к – число интервалов; п — число измерений. |
|||
В таблице границы интервалов обозначаются как xi; xi+1. Затем |
|||
находится теоретические вероятности |
попадания величины X в |
||
каждый из разрядов: |
|
||
|
|
|
(1.2) |
|
|
|
|
где mi – количество «попаданий» в интервал.
1 Формула Стерджесса
1
Определим статистические оценки числовых параметров нормального распределения математического ожидания mx и дисперсии .
Среднее арифметическое результатов измерений найдем по формуле:
∑ ̃ |
(1.3) |
|
|
|
∑ [ ̃ |
] |
|
|
|
(1.4) |
||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
(1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ̃ |
среднее значение в интервале, |
эмпирическая вероятность. |
|||||||
|
Если теоретический закон нормальный, то с помощью формулы можно |
||||||||
определить теоретическую вероятность |
в интервале (xi; xi+1): |
||||||||
|
( |
|
) |
( |
|
) |
|
(1.6) |
|
|
|
|
|
||||||
где |
и – соответственно математическое ожидание и СКО величины X; |
||||||||
( ) |
функция Лапласа. Вместо величин |
и |
используются оценки и |
||||||
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
В качестве меры расхождения между теоретическими вероятностями и |
||||||||
статистическими частотами критерий хи-квадрат предусматривает использование величины:
∑ |
( ) |
|
|
(1.7) |
|||
|
|||
где п – число измерений и к – число интервалов.
Если в процессе использования критерия согласия хи-квадрат определена величина , то по числам:
(1.8)
находится вероятность р того, что величина, имеющая распределение с s степенями свободы, превзойдет данное значение .
Если вероятность р достаточно большая, то расхождение между теоретическим и эмпирическим законами распределения следует рассматривать как несущественное, а гипотезу о том, что величина X имеет теоретическое распределение с плотностью f(x) считать правдоподобной. Если же вероятность р. наоборот, слишком мала, то гипотезу следует отклонить как неправдоподобную.
2
2.Порядок проведения работы
|
Задание: требуется идентифицировать закон распределении |
измеренной величины по данным статистического ряда. |
|
1. |
По формуле (1.1) определить количество интервалов . |
2. |
Определить минимальное и максимальное значения в вариационном |
|
ряде. С учетом количества интервалов определить набор интервалов. |
3.Рассчитать эмпирические вероятности для каждого интервала (формула 1.2).
4.Построить гистограмму как графическое представление статистической плотности распределения эмпирической вероятности. Вид гистограммы на рис. 1.1 свидетельствует о том, что возможной теоретической моделью данного распределения является нормальный
закон, который и примем с целью идентификации.
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Рисунок 1.1 – Гистограмма плотности распределения , 5. Определить статистические оценки числовых параметров нормального
распределения математического ожидания |
(1.3), дисперсии |
(1.4) |
и статистического СКО (1.5). |
|
|
6.Найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждой из разрядов, используя формулу и таблицу функции Лапласа по
|
формуле (1.6). Сумма теоретических вероятностей ∑ |
должна |
. |
||
7. |
С помощью формулы (1.7) рассчитать меру расхождения . |
|
|||
8. |
Для нормального закона распределение рассчитать число степеней |
||||
|
свободы (1.8) при |
. |
|
|
|
9. |
Из таблицы при известных |
и определяем значение вероятности |
|||
|
сходимости эмпирического и теоретического законов распределения . |
||||
|
При необходимости экстраполировать величину |
между соседними |
|||
значениями .
10.Оценить полученное значение вероятности и на ее основе сделать выводы о соответствии закона распределения измеренной величины.
3
3.Требования к оформлению результатов работы
В отчет заносятся: |
|
|
|
|
|
1. |
Гистограмма |
эмпирических |
вероятностей |
с |
табличными |
|
значениями. |
|
|
|
|
2. |
Гистограмма |
теоретических |
вероятностей |
с |
табличными |
|
значениями. |
|
|
|
|
3. |
Рассчитанные формулы и значения , , , |
|
|
||
4