6.2. Однородные модели систем цифрового управления непрерывными объектами

Для анализа и синтеза систем управления по гибридным моделям расчетные методы развиты слабо. Основным, если не единственным, методом исследования систем управления по неоднородным (гибридным) моделям остается компьютерная имитация.

Несмотря на вычислительные и графические возможности современных программ имитации способ плохо приспособлен для вывода суждений общего характера о поведении систем. Это объясняется зависимостью конкретного решения, зависящего от начальных условий и воздействий.

Примеры:

- анализ устойчивости (нельзя «для всех»);

- синтез при значительной исходной неопределенности; перебор вариантов путем многократной имитации весьма трудоемок даже в случае параметрического синтеза — настройки регулятора выбранного типа.

Необходимы расчетные, аналитические методы.

Известные методы расчета линейных непрерывных и дискретных однородных моделей не могут непосредственно применяться к гибридным моделям.

Актуальна задача построения однородных моделей гибридных систем.

Построение однородных моделей по гибридным моделям означает исключение всех других типов переменных кроме одного  непрерывного или дискретного.

Дискретная модель системы цифрового управления непрерывным объектом. Для построения однородной модели с дискретным временем необходимо исключить переменные непрерывного времени в последовательности преобразований, представленной на рис. 6.2.

В результате последовательность из трех элементов — фиксатора, ПФ непрерывного объекта и ключа — описывается дискретной моделью объекта в виде разностных уравнений и дискретной ПФ (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Однородная дискретная модель

К однородной дискретной модели могут быть применены расчетные методы анализа и синтеза.

Дискретизация непрерывной системы, дифференциальные уравнения которой представлены в форме пространства состояний (ФПС)

;

y(t) = C x(t).

Ее решение имеет вид:

. (6.1)

Поскольку на входе непрерывной системы стоит фиксатор, входная переменная остается постоянной от момента до момента , т. е. на интервале времени между моментами замыкания ключа.

Примем за начало и конец отсчета моменты и ; тогда решение (6.1) запишется так:

.

После замены переменной интегрирования

получим разностное уравнение в ФПС:

,

y[k] = C x[k],

где

(6.2)

Известно, что функция от квадратной матрицы представляет собой матрицу того же размера. Ее собственные значения связаны с собственными значениями матрицы-аргумента по той же функциональной зависимости.

Собственные значения матрицы состояний дискретной системы связаны с собственными значениями матрицы непрерывной системы так:

. (6.3)

На рис. 6.6 изображены две комплексные плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем.

Рис. 6.6. Комплексные плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем

В программе MATLAB/Control System Toolbox процедура дискретизации линейных моделей выполняется по команде c2dm.

Можно указать метод (фиксатор нулевого порядка (‘zoh’), метод Тастина и др.).