Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (2.4)

электрических и магнитных полей являются электромагнитные волны, существование которых вытекает непосредственно из уравнений Максвелла.

Процессы, периодически повторяющиеся во времени, представляют собой колебательные процессы. Если колебательный процесс происходит в пространстве, части которого «связаны» друг с другом, то в периодический процесс вовлекается все большая область пространства. В этом случае говорят о распространении колебаний или о волновом процессе. Волновые процессы встречаются во многих областях физики.

Мы знаем, что колебательный процесс – это процесс, при котором изменение параметров, описывающих состояние системы, периодически повторяется со временем. Колебательный процесс, или колебание, происходит в ограниченной области пространства. Он характеризуется периодом T или частотой колебаний .

В отличие от колебаний в о л н о в о й п р о ц е с с является

периодически повторяющимся процессом, который распространяется в пространстве с некоторой конечной скоростью. Другими словами, волновой процесс или в о л н а – это процесс распространения колебаний. При этом вещество (или поле) не переносится волной, а

только вовлекается в колебательный процесс, происходящий относительно равновесных состояний. В волновом процессе переносится энергия и импульс.

разделяет пространство на две области: в одной из них колебания уже происходят, до второй области колебания еще не дошли.

В о л н о в о й п о в е р х н о с т ь ю называют поверхность, в точках которой колебания имеют одинаковую фазу.

Форма волновой поверхности в однородных изотропных средах совпадает с формой волнового фронта.

Рассмотрим классификацию волн, исходя из определения волны.

направление колебаний (волна температуры) и в е к т о р н ы е , когда колебания происходят в определенном направлении (колебание частиц воздуха в звуковой волне). При этом сам колеблющийся параметр также может быть скалярным (давление в звуковой волне) или векторным (напряженность электрического поля в электромагнитной волне).

По частотным характеристикам волны делятся на две группы:

электромагнитного поля (в том числе, свет).

В зависимости от направления колебаний волны делятся на два

направление распространения волны

направление колебаний

Среди волн по форме волнового фронта выделяют:

с ф е р и ч е с к и е в о л н ы – волновой фронт является сферой. Например, излучение точечного источника в однородной изотропной среде.

Волновой фронт

п л о с к и е в о л н ы – волновой фронт является плоскостью.

Волновой

фронт

Направление

распространения

волны

Волновые процессы описываются волновым уравнением, решением которого они являются.

Уравнение свободных гармонических колебаний имеет вид

22 + 0 = 0.

Его решением является функция, описывающая гармонический колебательный процесс ( ) = 0cos (0 + ).

В о л н о в о е у р а в н е н и е имеет несколько похожий вид, оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

22 − 2 = 0

или

1 2= 2 2.

Здесь греческой буквой («кси») обозначен колеблющийся параметр,

– дифференциальный оператор Лапласа (P. Laplace, 1749–1827), для

переменных, уравнение записывается не в полных производных ⁄ , как для колебаний, а в частных производных ⁄ .

Используемый дифференциальный оператор Лапласа можно представить через дифференциальный оператор («набла»)

= 2= div(grad).

И н т е н с и в н о с т ь ю в о л н ы называется количество энергии,

переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную распространению волны. Для гармонических волн интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны.

В о л н о в ы м ч и с л о м называют величину, равную отношению частоты колебаний к фазовой скорости волны

волнового уравнения, можно представить в виде ( ± ).

Если волновое уравнение трехмерное, то его решением может быть

пространстве возмущения электромагнитного поля.

Существование электромагнитных волн является следствием уравнений Максвелла

Это с одной стороны, с другой стороны ротор ротора любого выражения можно преобразовать

rot(rot) = × ( × ) = ∙ ( ∙ ) − ∙ ( ∙ )

Мы воспользовались формулой Лагранжа для двойного векторного произведения

однородные уравнения

2 ∆ − εε0 0 2 = 0,

2 ∆ − εε0 0 2 = 0.

Это значит, что напряженности и переменного электромагнитного поля в однородной, изотропной, непроводящей, нейтральной среде должны удовлетворять волновому уравнению, то есть переменное электромагнитное поле будет распространяться в пространстве в виде волны.

Сравнивая полученные уравнения с волновым уравнением, записанным в общем виде,

– источник (правая часть соответствующих уравнений). Полученное уравнение относится к классу неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных гиперболического типа.

В одномерном случае в отсутствии токов и зарядов, например,

решением уравнения буду плоские волны, бегущие со скоростью в направлениях ±.

( ± ) и ( ± ) встречно бегущих в любых направлениях плоскости– цилиндрическая волна.

является трехмерная (сферическая волна ( − ⁄ )⁄ , складывающаяся из бесконечного набора пар плоских волн, разбегающихся из начала трехмерной системы координат во всех направлениях.

Если источники распределены в конечном объеме , то

Таким образом, любое возмущение состояния электромагнитного поля приводит к появлению сферических волн , , , ск, которые разбегаются со скоростью

во всех направлениях от источника.

Формально уравнение второго порядка должно иметь два решения, что отражено наличием двух знаков – «плюс» и «минус», однако в технике используется лишь одно из них, выбор которого осуществляется на основе следующих рассуждений. Рассмотрим решение, содержащее в аргументах пр и знак «минус». Его следует

понимать так, что если нас интересуют значения потенциалов и ск в