Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (1.3)

1.3.Взаимодействие движущихся электрических зарядов в вакууме. Магнитное поле

Перейдем к рассмотрению взаимодействия движущихся зарядов, которое не сводится к электростатическому взаимодействию. Для его описания необходимы другие законы – законы магнетизма.

В 1820 г. датский физик Ханс Эрстед (H. Ørsted, 1777–1851) показывал студентам тепловое действие тока. При включении тока отклонилась стрелка случайно оказавшегося рядом компаса. Описание этого опыта вызвало лавину новых открытий. Так родилась новая

(стационарные, или постоянные) магнитные поля, с которых мы начнем наше рассмотрение.

М а г н и т н о е п о л е – силовое поле (подобное гравитационному или электрическому), окружающее токи и постоянные магниты. Магнитное поле не действует на неподвижные заряды, оно может создаваться только движущимися зарядами и действует только на движущиеся заряды.

Магнитные силы, действующие со стороны магнитного поля на движущиеся заряды, могут:

–искривлять их траекторию (если заряд движется в свободном пространстве);

–отклонять проводник (если заряды движутся в проводнике);

–поворачивать контур (если проводник образует замкнутый

контур).

Все объекты, на которые действует магнитное поле:

движущиеся заряды,

проводники с током,

контуры с током,

постоянные магниты,

атакже

изменяющееся электрическое поле,

являются в свою очередь источниками магнитного поля.

Для описания магнитного поля используют вектор, называемый

в е к т о р о м м а г н и т н о й и н д у к ц и и , который является силовой

характеристикой магнитного поля. Направлением вектора B выбирается направление магнитной стрелки в ту сторону, куда направлен ее северный конец.

Используя индукцию магнитного поля , для силы,

действующей на заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле, получим выражение

= [, ].

Здесь квадратными скобками [, ] обозначено векторное

произведение векторов и .

Эту силу, называют м а г н и т н о й с и л о й Л о р е н ц а (H. Lorentz, 1853–1928), или иногда ее называют магнитной составляющей силы

магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторыи . Заметим, что если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением векторного произведения [, ]. В случае

отрицательного заряда , направления векторов и [, ]

противоположны.

Cила, действующая на прямолинейный проводник длиной l , по которому течет ток силой I , называемая с и л о й А м п е р а (A. Ampere, 1775–1836), пропорциональна силе тока и длине проводника, а по направлению перпендикулярна и .

= [, ],

где [, ] – векторное произведение и |[, ]| = .

Определение индукции магнитного поля можно дать используя силу Лоренца, действующую на движущийся заряд, или силу Ампера, действующую на проводник с током. Оба определения совершенно эквивалентны. Обе силы – сила Лоренца (магнитная составляющая силы Лоренца) и сила Ампера – в принципе являются одной и той же силой, только первая – это сила, действующая на один движущийся

заряд, а вторая – на все заряды в участке проводника.

Поместим в однородное магнитное поле B рамку с током. Для простоты рассмотрим квадратную рамку (которая расположена

перпендикулярно плоскости рисунка) со сторонами длиной l .

F2

d1

принято изображать точкой в кружочке (символическое изображение наконечника стрелы, направленного на нас). В нижней – «от нас», что изображается крестиком в кружочке (символическое изображение оперения стрелы, направленной от нас). Силы, действующие на стороны квадрата, параллельные плоскости рисунка, будут растягивать контур,

но не будут его поворачивать.

Поворот рамки будут обеспечивать силы F1 и F2 , действующие на

стороны контура, перпендикулярные плоскости рисунка. Вращающий

Силы, действующие на стороны контура, являются силами Ампера.

По величине они равны F1 F2 IlB , следовательно, M 2IlB 2l cosφ . Так

как l 2 S – площадь плоской поверхности, ограниченной контуром, то M ISBcosφ , причем cosφ sin α , где φ – угол между плоскостью

контура и вектором , а α – угол между нормалью к плоскости контура и .

Направление нормали выбирается п о п р а в и л у п р а в о г о б у р а в ч и к а : за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения буравчика, который вращается в направлении тока, текущего в рамке.

это вектор, который по направлению совпадает с нормалью к контуру

плоского контура.

Заметим, что, как мы уже говорили, по вращающему действию магнитного поля так же можно определить индукцию магнитного поля. Например, так

= .

Заметим, что если проводник представляет собой катушку, содержащую несколько витков, то магнитный момент катушки будет равен сумме магнитных моментов всех витков. Величина магнитного момента для катушки с витками равна = , где – площадь витка.

Рамка с током будет поворачиваться в магнитном поле до тех пор, пока вращающий момент не станет равным нулю. В этом случае магнитный момент будет направлен по магнитному полю, так как тогда sin = 0 и = 0. Следовательно, магнитное поле поворачивает

магнитные моменты так, чтобы они были направлены по полю.

Если магнитное поле неоднородно, то суммарная сила Ампера не будет равна нулю и контур с током будет втягиваться в область более сильного поля.

F2

pm

B

F1

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции.

П р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и (наложения) м а г н и т н ы х п о л е й :

магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими источниками, (например движущимися зарядами или участками проводника) равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности

= 1 + 2+ . . . + или

= ∑ .

=1

Для бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных источников принцип суперпозиции записывается в виде интеграла

= ∫ .

От описания действия магнитного поля перейдем к рассмотрению

свойств собственно магнитного поля. Введем несколько важных определений и получим законы, связывающие характеристики магнитного поля.

k 1

охватываемых контуром.

Заметим, что каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика при вращении буравчика по направлению обхода

которого циркуляция всегда равна нулю. Пример потенциального поля

м а г н и т н ы м п о т о к о м Ф сквозь малую площадку называется физическая величина, равная произведению площади этой площадки и проекции вектора на направление нормали к площадке :

Ф = = = ,

где = – вектор нормали к площадке, – угол между и .

S dS

Поток Ф через площадку конечных размеров S можно найти, разбив ее на элементы и сложив потоки Ф через них

Ф = = .

( )( )

Для магнитного поля, как и для электростатического, можно сформулировать теорему (закон) Гаусса.

Т е о р е м а ( з а к о н ) Г а у с с а д л я м а г н и т н о г о п о л я :

магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

= = 0.

( )( )

Это равенство отражает факт, что для любой замкнутой поверхности, сколько линий индукции входит в нее, столько и выходит. Линии индукции всегда замкнуты и нет магнитных зарядов, на которых они могли бы закончиться или начаться.

Если магнитный поток меняется с течением времени, то возникает

явление электромагнитной индукции.

Магнитный поток через контур будет изменяться со временем, если или магнитное поле, или площадь контура, или его ориентация зависят от времени, то есть, = ( ), или = ( ), или = ( ), но в чистом виде явление электромагнитной индукции будет лишь при изменении магнитного поля. При изменении площади «натянутой» на реальный проводник поверхности или при изменении угла между нормалью к этой поверхности и индукцией магнитного поля происходит перемещение проводника, и движение зарядов по проводнику, возникающее при этом в магнитном поле, вызвано действием силы Лоренца, а не явлением электромагнитной индукции. Физическое содержание явления электромагнитной индукции заключается в том,

что всякое изменяющееся магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле . Причем, если в этом поле находится замкнутый проводник, то оно является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Математически движение зарядов в проводнике при ≠ , ≠и ≠ описываются одними и теми же выражениями, так что мы будем описывать эти три случая, несмотря на различную

заключающийся в том, что в проводящем контуре, поток магнитного поля через который не постоянен, возникает электродвижущая сила индукции и электрический ток, называемый индукционным током.

З а к о н э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и Ф а р а д е я

(M. Faraday, 1791–1867): ЭДС электромагнитной индукции в контуре равна по величине и противоположна по знаку скорости изменения

индукционный ток должен быть направлен так, чтобы создаваемое им магнитное поле уменьшало изменение магнитного потока.

не равна нулю, а представляет собой ЭДС электромагнитной индукции

= = − Ф .

( )

До сих пор мы говорили о проводящем контуре, находящемся во внешнем магнитном поле. Если по контуру протекает ток, то контур будет находиться в собственном магнитном поле, и его будет пронизывать собственный магнитный поток. Если ток в контуре не постоянный, то и магнитный поток через контур будет меняться во времени. В этом случае возникает явление с а м о и н д у к ц и и –

появление ЭДС, называемой ЭДС самоиндукции, и тока самоиндукции

в проводящем контуре при изменении в нем силы протекающего тока.

Природа явления самоиндукции понятна – когда по контуру протекает изменяющийся по силе ток, он создает изменяющееся магнитное поле и, соответственно, контур будет пронизывать непостоянный поток собственного магнитного поля.

I

B

Собственный магнитный поток Ф , пронизывающий контур,

= Ф .

Индуктивность контура зависит в вакууме только от геометрических параметров контура, а в общем случае зависит еще от магнитных свойств вещества, в котором находится контур.

Если N витков образуют катушку, то суммарный поток,

пронизывающий все витки катушки, равен сумме потоков Ф , пронизывающих каждый виток, и индуктивность катушки будет равна

= Ф .

ЭДС самоиндукции замкнутого проводника может быть найдена из

закона Фарадея = − Ф , тогда

= − ,

где L – индуктивность замкнутого проводника.

Поскольку индукция магнитного поля контура l в любой точке может быть найдена по закону Био–Савара