Скачиваний:
10
Добавлен:
06.08.2022
Размер:
347.1 Кб
Скачать

5.1. Законы Снелля

Ранее взаимодействие волн с веществом рассматривалось в предположении, что все пространство заполнено средой одного типа.

Рассмотрим, что будет, когда два полубесконечных пространства, разделенных плоской бесконечной границей, заполнены однородными

средами с разными параметрами ̇, ̇. Это случай так может быть

рассмотрен, как пример неоднородной среды с резкой границей неоднородности. Исследуем вопрос прохождения электромагнитной волны через указанную границу из одной среды в другую. Прежде чем углубляться в точный анализ, проведем следующие рассуждения.

Допустим, что из первой среды ( ̇ ,

̇ )

на поверхность второй ( ̇ ,

1

1

2

̇ ) падает плоская волна (рисунок).

 

 

2

 

 

Для простоты будем считать, что среда 1 – вакуум, а среда 2

характеризуется параметрами ̇ , ̇ . Под действием поля падающей

2 2

волны электроны на поверхности среды 2 совершают колебания с

частотой волны в направлении вектора пад (рисунок, а). Являясь заряженной частицей, электрон вследствие колебательного движения вызовет на поверхности среды 2 переменный ток, текущий параллельно оси . Каждый элемент такой «нитки тока» ведет себя как электрический диполь, который излучает вторичные волны. Часть этих волн будет распространяться в первой среде, и за счет них формируется так называемая отраженная волна, другая часть – во второй среде, создавая преломленную волну (рисунок, б). Возникают важные для техники вопросы: как определить направления распространения

вторичных волн, их амплитуды, фазы и поляризации. От чего зависят эти параметры вторичных волн.

Ученые античной Греции (Герон Александрийский) на основании наблюдательных фактов точно установили, что свет от гладких поверхностей отражается по зеркальному закону (угол падения равен углу отражения). Закон преломления сформулировал Снелл (1621 г.). Однако строгое обоснование данных закономерностей может быть дано лишь в рамках теории Максвелла.

Пусть на гладкую плоскую границу раздела двух изотропных линейных сред под некоторым углом Θпад к ее нормали падает плоская линейно-поляризованная электромагнитная волна.

Направление движения волны определим лучом, совпадающим с вектором П̇пад. Отраженную и преломленную волны соответственно

зададим лучами П̇отр, П̇пр, ориентированными к нормали под углами

Θотр, Θпр.

Поскольку для заданного направления П̇пад пара векторов ̇пад, ̇пад может быть ориентирована произвольно (в плоскости,

перпендикулярной к П̇пад), выделим для определенности два характерных типа поляризации волны. Условимся называть

горизонтально-поляризованной волну, у которой вектор ̇пад(г) , параллелен оси (на рисунке слева), и вертикально-поляризованной

волну с вектором ̇пад(в) , непараллельным граничной поверхности, т.е. имеющим проекции на оси Оу и Oz (на рисунке справа).

Любой другой вариант поляризации волны можно скомбинировать из указанных двух. Будем в дальнейшем называть плоскостью падения

плоскость, включающую векторы П̇пад и нормаль к границе раздела , а

̇

̇

плоскостью поляризации – плоскость векторов

, .

пад

пад

Исследуем наклонное падение на границу раздела сред

горизонтально-поляризованной волны. При математическом описании сформулированной задачи примем во внимание, что граница раздела сред неподвижна, а сами среды линейны. На этом основании можно утверждать, что частота отраженной и преломленной волн совпадает с падающей. Плоская конфигурация границы раздела сред и изотропность

̇

̇

̇

последних обеспечивают параллельность векторов

,

,

. С

пад

отр

пр

учетом сказанного общая запись для падающей, отраженной, преломленной волн будет иметь следующий вид.

Падающая волна:

 

 

 

 

̇

 

= −

∙ ̇

 

 

∙ ∙ 1( ∙sinΘпад+y∙cosΘпад),

 

 

 

 

 

 

 

пад

 

 

 

 

 

 

0

пад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

= ( ∙ cos Θ

пад

− ∙ sin Θ

пад

)∙ ̇

 

 

1( ∙sinΘпад+y∙cosΘпад),

пад

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

пад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

= √ ̇

∙ ̇

=

 

0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отраженная волна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

 

1( ∙sinΘотр+y∙cosΘотр)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

= − ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отр

 

 

 

 

 

 

0

отр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

= ( ∙ cos Θ

 

 

 

− ∙ sin Θ

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

 

1( ∙sinΘотр+y∙cosΘотр)

.

 

 

отр

отр

)∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отр

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

отр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преломленная волна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

2( ∙sinΘпр+y∙cosΘпр)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

0

пр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

= ( ∙ cos Θ

 

 

 

− ∙ sin Θ

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

2( ∙sinΘпр+y∙cosΘпр)

,

 

 

 

пр

пр

)∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пр

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

2

= √ ̇

∙ ̇

=

 

0

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установим связь между углами Θпад, Θотр, Θпр. Для этого подчиним

поле на поверхности раздела сред ( = 0) пограничному условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имея в виду, что ̇

= ̇

 

+ ̇

 

 

 

 

, а ̇

= ̇

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

пад

 

 

отр

 

 

 

2

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̇

 

 

1∙ ∙sinΘпад + ̇

 

 

 

 

1∙ ∙sinΘотр

= ̇

2∙ ∙sinΘпр.

 

пад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

Записанное

 

равенство

 

должно

 

выполняться

при любом z,

следовательно, показатели всех экспонент должны быть одинаковыми

1 ∙ sinΘпад = 1 ∙ sinΘотр = 2 ∙ sinΘпр.

Из первого равенства следует, что

Θпад + Θотр =

– первый закон Снеля. Из второго равенства

1 ∙ sinΘотр = 2 ∙ sinΘпр

– второй закон Снеля.

Полученные соотношения для углов Θпад, Θотр, Θпр выведены для горизонтальной поляризации падающей волны. Аналогичные законы для вертикально-поляризованной падающей волны можно получить сразу из этих выражений, применив к ним принцип перестановочной двойственности. Очевидно, что правило перестановки не изменит полученных выражений. Следовательно, законы Снелля справедливы при любой поляризации падающей волны.

Первый закон Снелля устанавливает направление отраженной волны, которое обязательно подчиняется правилу зеркального отражения и для изотропных линейных сред не зависит от их

параметров ̇, ̇, Второй закон Снелля показывает, что направление

преломленной волны определяется не только углом падения на поверхность раздела сред, но и параметрами 1-й и 2-й сред.

Соотношения для углов Θпад, Θотр, Θпр связывают направления распространения трех волн: падающей, преломленной, отраженной. Однако они оставляют открытым вопрос о том, как распределяется между отраженной и преломленной волнами поток мощности падающей волны, а также в какой взаимосвязи находятся амплитуды и фазы трех волн. Информация об указанных характеристиках содержится в законах Френеля, установленных им в 1823 г. в рамках упругой теории света.

Соседние файлы в папке Электродинамика .pdf