Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (2.6)
.pdf2.6.Баланс мощности для гармонического электромагнитного излучения
Запишем уравнение баланса мощности для гармонического электромагнитного поля, воспользовавшись комплексным представлением гармонического электромагнитного поля.
Учитывая соотношения
|
|
̇ |
1 |
|
̇ |
̇ |
1 |
|
̇ |
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||||
= Re [ ( )] = |
|
|
|
( + |
) = |
|
|
|
( |
|
|
+ |
|
|
|
), |
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
̇ |
|
̇ |
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
̇ |
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||
= Re [ ( )] = |
|
|
|
( + |
|
) = |
|
|
|
( |
|
+ |
|
|
|
), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
здесь знак «*» – означает комплексное сопряжение, вектор Пойнтинга можно представить в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{( ̇ |
|
|
|
|
П = × = |
|
|
|
|
+ ( ̇ |
|||||||||
= |
1 |
× ̇ ) + ( ̇ × ̇ ) + ( ̇ |
× ̇ ) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ̇ |
× ̇ ) = ( ̇ |
× ̇ ) , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( ̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
× ̇ ) |
|
|
|
= [( ̇ |
× ̇ ) |
|
|
] , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∙2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим
× ̇ ) − 2}.
|
1 |
|
̇ |
̇ |
|
1 |
|
̇ |
|
̇ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∙2 |
|
|||||||
П = |
|
|
Re ( |
× |
) + |
|
|
Re [( |
× ) |
|
]. |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Первое слагаемое в правой части неизменно во времени, а второе слагаемое меняется с удвоенной частотой. Таким образом процесс переноса энергии в гармоническом электромагнитном поле характеризуется, с одной стороны, действительным вектором
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
̇ |
|
|
|
|
||||
П = |
|
∫ П = |
|
|
Re ( |
× ), |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
равный плотности потока мощности, усредненный за период и, с другой стороны, действительным вектором
|
|
1 |
̇ |
̇ |
) |
∙2 |
], |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
П = |
|
|
Re[( |
× |
|
|||
|
кол |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
который представляет собой колеблющуюся составляющую вектора Пойнтинга, среднее за период значение которого равно нулю.
При анализе гармонических электромагнитных полей используют
комплексный вектор Пойнтинга
П̇= 12 ( ̇× ̇),
обладающий свойством, что
П = 12 ReП̇.
Составим баланс мощности для гармонического поля,
воспользовавшись комплексными (и комплексно сопряженными величинами) величинами.
Запишем уравнения максвелла в комплексном виде, причем первое уравнение – в комплексно сопряженном виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot ̇ = |
|
|
̇; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot = − . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Умножим скалярно первое на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
, второе – на ̇, и найдем их разность, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воспользовавшись выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div ( × ) |
= rot − rot , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
||||||||||
|
|
̇ |
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
( |
|
|
|
̇ ̇ |
|
− |
̇̇ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
rot |
|
− |
rot = −div ( × ) = |
|
|
|
|
|
|
|
) + |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
||
|
Поскольку |
|
|
|
|
̇= ̇ |
|
|
|
|
, ̇ = ̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇= ̇ |
|
|
|
, ̇ = ̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то |
|
̇̇ |
= |
̇ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
̇ ̇ |
= |
|
|
|
̇ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
( |
|
|
̇ |
|
− |
|
|
|
̇ |
|
) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
divП = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Если |
|
ввести |
обозначения: |
|
= |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
– |
|
|
средняя |
за |
период |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
плотность электрической части полной энергии гармонического
электромагнитного поля, |
|
= 1 |
|
|
2 |
средняя за период плотность |
|
м |
4 |
|
|
|
магнитной части полной энергии гармонического электромагнитного
поля, ̇ = |
1 |
|
|
̇ |
2 |
|
– комплексная удельная мощность потерь, то |
||
П |
пр |
|
||
уравнение баланса мощности в дифференциальной форме примет вид
̇ |
|
− |
) − ̇. |
divП = ∙ 2( |
|||
|
э |
м |
П |
Сразу отметим, что мощность потерь (тепловая мощность) обязательно реальна и описывается вещественным числом (мнимого
тепла не бывает). Поэтому введение ̇ носит чисто формальный
П
характер.
Интегральный закон баланса получается интегрированием по
объему |
|
|
|
|
̇ |
= ∙ 2( |
− |
) − ̇, |
|
изл |
|
э |
м |
П |
где |
|
|
|
|
̇ |
|
̇ |
|
̇ |
|
|
= divП = П |
||
изл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексная мощность излучения через поверхность объема ,
э = э , |
м = м |
|
|
усредненные за период гармонического поля значения его электрической и магнитной энергии, запасенной в объеме .
Если в объеме действуют источники с полной мощностью ст̇, которую можно формально рассматривать, как отрицательную мощность потерь, получим
ст̇ = ∙ 2( м − э) + П̇+ изл̇ .
Записанное комплексное соотношение можно представить отдельными (не связанными между собой) балансами активных и реактивных мощностей. Для этого все комплексные слагаемые запишем в виде суммы вещественной и мнимой частей. Тогда интегральные балансы активных и реактивных мощностей складываются следующим образом:
акт = |
+ Rė |
, |
|
ст |
П |
изл |
|
реакт = 2( |
− ) + Iṁ . |
||
ст |
м |
э |
изл |
Таким образом, полная активная мощность источников (например, передатчиков), работающих в объеме , расходуется на покрытие потерь в веществе, заполняющем объем, и потерь в материале его стенок ( П) и на создание потока активной мощности излучения, покидающего объем (Reизл̇ ). Реактивная мощность источников идет на поддержание разности м и э и потока реактивной мощности Imизл̇ , который каждые полпериода изменяет свое направление на
180°. Если частота источников совпадает с собственной резонансной частотой объема , то м = э и вся реактивная мощность источников идет на создание колебательного потока Imизл̇ . Согласовав антенну источника с объемом , можно полностью устранить (и к этому нужно стремиться на практике) колебательное движение потока электромагнитной мощности через поверхность объема .