Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (2.5)
.pdf2.5. Уравнения Максвелла для гармонических процессов
Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических электромагнитных процессов, либо в виде непрерывного спектра гармонических процессов, из которого исходное поле может быть восстановлено преобразованием Фурье. Поэтому изучение гармонических по времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес.
Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо
любой скалярной функции , изменяющейся по закону |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
cos( + ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
– амплитуда, – начальная фаза, а = 2 = 2⁄ – круговая |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частота гармонического колебания, вводится комплексная функция |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
(+) |
= |
̇ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величину ̇ |
= |
|
называют комплексной амплитудой функции |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все комплексные величины будем помечать точкой сверху. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Для перехода от комплексной функции ̇к исходной функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нужно взять от реальную часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = Re( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Аналогично вместо векторной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
( ) = |
|
cos( + |
|
) + |
|
|
cos( + |
) + |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
cos( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно ввести комплексную векторную функцию |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
̇( ) = |
|
|
(+ |
) |
+ |
|
|
|
|
(+ |
|
) |
+ |
|
|
(+ ) |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
здесь |
, , – орты декартовой системы координат. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Причем
( ) = Rė( ).
Мгновенное значение комплексного вектора можно представить в виде
̇( ) = ̇ ,
где
̇ |
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является комплексной амплитудой вектора ( ).
Определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще определения исходных функций. Это объясняется тем, что дифференцирование комплексной функции по времени равносильно умножению ее на :
|
̇ |
̇ |
|
|
( ) |
||
|
|
|
= ( ) |
|
|
||
|
|
|
и |
̇( ) |
= ̇( ), |
||
|
|
|
|
|
|
||
аинтегрирование по времени – делению на :
∫̇( ) = 1 ̇( )
и
∫̇( ) = 1 ̇( ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вектора электромагнитного поля, например, ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos( + |
) + |
cos( + |
|
) + |
|
|
cos( + |
) |
|||||||||||||||||||||||||||
( ) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) = |
|
|
(+ |
) |
+ |
|
|
|
(+ ) |
+ |
|
|
|
|
(+ ) |
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
) |
|
] = |
|
|||||||||||
( ) = Re [( )] = Re[( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Re [̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля, гармонически меняющегося во времени, могут быть получены путем формальной заменой ⁄ на и для стационарных сред ( ≠ ( ), ≠ ( )). С
|
|
|
|
|
|
учетом закона Ома пр = уравнения Максвелла примут вид |
|||||
̇ |
|
̇ |
|||
rot = ( + |
); |
||||
|
|
|
|
|
|
̇ |
̇ |
|
|
|
|
rot = − . |
|
|
|
||
Учитывая, что + |
= ( − |
), вводят комплексную |
|||
|
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
абсолютную диэлектрическую проницаемость среды
̇= −
Вводят так же понятие комплексной относительной
диэлектрической проницаемости среды
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
̇= |
|
|
= − |
|
= ′ − ′′. |
||
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Мнимая часть ̇ (′′ = |
|
), пропорциональная проводимости |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
среды определяет джоулевы потери энергии поля. Величина потерь оценивается по значению тангенса угла диэлектрических потерь
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgэ = |
|
= |
|
. |
|||
|
|
|
′ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
При наличии в среде потерь магнитной природы аналогично |
||||||||||
вводится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgм = |
′′ |
. |
|
|
|||
|
|
|
′ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Углы э |
и м |
характеризуют фазовый сдвиг между комплексными |
||||||||
̇ |
̇ |
̇ |
|
̇ |
||||||
векторами |
и |
|
и соответственно |
|
и |
. При отсутствии потерь |
||||
указанные векторы изменяются синфазно.
Таким образом, уравнения Максвелла в стационарных средах
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
̇ |
|
|
|
|
rot = ̇; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
̇ |
|
|
|
rot = − ̇. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Данные |
уравнения |
описывают |
любые |
гармонические |
||
электромагнитные процессы. |
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
Максвелла, |
содержащие |
дивергенции, являются |
|||
следствием уравнений, содержащих роторы, и самостоятельного значения не имеют.
Метод комплексных амплитуд широко применяют в теории электрических цепей. Однако следует указать на весьма существенное обстоятельство: в электродинамических задачах комплексные амплитуды выступают как пространственные, в общем случае трехмерные, векторы. Поэтому изобразить их в виде некоторых вспомогательных векторов, вращающихся на комплексной плоскости, принципиально невозможно. Экспоненциальные множители с мнимыми показателями, входящие в комплексные амплитуды отдельных проекций поля, характеризуют исключительно фазовые соотношения
между проекциями. Например, если комплексные амплитуды двух
гармонически |
изменяющихся во времени векторов |
имеют вид |
||||
|
|
∙ и |
|
|
∙ , то это отнюдь не означает, |
что эти два |
̇= |
̇= ∙ |
|||||
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
вектора образуют в пространстве угол 90° (в действительности оба
вектора параллельны орту ), а лишь говорит о том, что при изменении
во времени вектор 2 опережает вектор 1 на четверть периода, так как
|
|
∙ |
|
|
∙ ∙ |
|
|
|
̇= ∙ |
= |
2 |
= |
2 |
∙ ̇. |
|||
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
В общем случае вместо разложения вектора по ортам декартовой системы координат может оказаться необходимым разложение по каким-либо другим ортогональным векторам, что не вносит в рассмотрение никаких принципиальных изменений.