Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (6.6)

6.6. Электромагнитные волны в прямоугольном волноводе

Электрические волны ( ̇ ≠ 0, ̇ = 0)

В прямоугольном волноводе, являющемся частным случаем линии передачи, в которой энергия распространяется внутри полой металлической трубы, могут существовать волны и и невозможно существование волн . Анализ начнем с электрических волн. Начало декартовой системы координат поместим в одну из вершин прямоугольника, а оси системы совместим со сторонами прямоугольника, как показано на рисунке.

Поперечные составляющие векторов ̇и ̇у волн выражаются согласно

частных производных и решается методом разделения переменных, т.е. решение представляется в виде произведения

̇= ( ) ∙ ( ) ∙

где ( ) – функция только координаты , a ( ) – функция только координаты .

где и – произвольные целые положительные числа.

При = 0 или = 0 продольная составляющая ̇ тождественно

равна нулю, что соответствует отсутствию волны . Поэтому ≥ 1 и

где через 0 обозначено произведение , имеющее смысл амплитуды продольной составляющей напряженности электрического поля. Эта величина не может быть определена из граничных условий, так как амплитуда составляющих поля зависит от мощности источника, возбуждающего электромагнитную волну в волноводе.

Подставляя в

где

Изменение всех составляющих вдоль продольной оси описывается множителем e− z.

Как следует из выражений для напряженностей электрического и магнитного полей, структура поля в плоскости поперечного сечения соответствует структуре стоячих волн, причем равно числу полуволн, укладывающихся вдоль стенки длиной , и – числу полуволн, укладывающихся вдоль стенки длиной . Согласно тем же выражениям каждой паре целых чисел и соответствует определенная структура электромагнитного поля, обозначаемая ( ). Например, 11 – это волна , у которой = 1 и = 1.

Структура волн 11 и 21 в некоторый фиксированный момент времени представлена на рисунках (а и б) для трех сечений волновода.

Отметим, что структуру волны 21 можно получить, если разделить волновод пополам по широкой стенке (штрих-пунктирная линия на рисунке б) 3) и в каждой половине построить структуру волны 11. Аналогично можно построить структуру волны : широкая стенка волновода делится на , а узкая – на равных частей, и в каждой из образовавшихся клеток строится структура волны 11.

Критическая длина волны определяется из выражения

2кр = ,

путем подстановки вместо его выражения

2кр = √( )2 + ( )2.

Коэффициент распространения, фазовая скорость и скорость переноса энергии волн определяются соответственно по формулам

= √ √1 − ( кр) ,

аволновое сопротивление по формуле

= √ ∙ √1 − ( ) = ∙ √1 − ( ).

кр кр

Низшим типом среди волн , обладающим наибольшей критической длиной волны, является 11.

Волны с различной структурой поля, которым соответствуют одинаковые значения γ , имеют равные коэффициенты распространения, фазовые скорости и скорости распространения энергии. Волны, обладающие этим свойством, называются вырожденными. В прямоугольном волноводе две волны 1 1 и 2 2

вырождены, когда

( 1)2 + ( 1)2 = ( 2)2 + ( 2)2.

Магнитные волны ( ̇= 0, ̇ ≠ 0)

В данном случае поперечные составляющие поля выражаются

через ̇

индекса и равных значениях индекса критическая длина волны, коэффициент распространения, фазовая скорость и скорость переноса энергии такие же, что и волны . В том числе, волны и с равными индексами являются вырожденными.

где 0 = – амплитуда продольной составляющей магнитного поля.