Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (6.8)
.pdf
6.8. Электромагнитные волны в коаксиальной линии
Волна . Волновое сопротивление коаксиальной линии
Коаксиальная линия является направляющей системой закрытого типа, состоящая из двух изолированных друг от друга металлических проводников.
В направляющих системах такого типа возможно существование волн , , . Поскольку у волны критическая частотакр = 0, то эта волна является низшим типом волны в коаксиальной линии.
Совместим ось цилиндрической системы координат , φ, с осью внутреннего проводника коаксиальной линии, ориентирован оси системы.
|
|
|
̇ |
электрического поля волны можно |
|||||||||||||
Поперечный вектор |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выразить через градиент функции ̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
̇ |
|
|
|||||
|
|
|
|
= – grad . |
|
|
|||||||||||
Уравнение Лапласа, которому удовлетворяет функция ̇в полярной |
|||||||||||||||||
системе координат, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
̇ |
|
|
|
̇ |
1 |
2 |
̇ |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 0, |
|
|
||||
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||
Решая это уравнение методом разделения переменных, получаем |
|||||||||||||||||
два решения. Одно из них имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
̇ = ( + −) cos ( − |
0 |
) −, |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – целое число, и второе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
̇2 |
|
= − ln −. |
|
|
||||||||||
На поверхности внутреннего проводника и на внутренней поверхности внешнего проводника коаксиальной линии, которые будем
полагать идеально проводящими, касательная составляющая электрического поля должна обращаться в нуль. Следовательно,
̇( , ) = ̇( , ) |
= 0. |
||
|
1 |
2 |
|
Нетрудно проверить, |
что |
решение ̇ |
записанному граничному |
|
|
1 |
|
условию при ≠ 0 и ≠ 0 не удовлетворяет и его следует отбросить.
Для второго решения |
|
|
|
|
|
̇ = − |
1 |
|
̇2 |
|
≡ 0, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т.е. граничное условие выполняется тождественно при произвольном
значении константы и функция ̇2 |
является искомым решением. |
|||||||||||||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
= – grad |
̇ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
= |
1 |
[ |
̇ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
× ] |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
находим составляющие поля волны |
|
|
|
|
|
|||||||||||
̇= − |
̇ |
= |
|
−, |
|
|
̇ |
= |
̇ |
|
−. |
|||||
2 |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Постоянную |
|
выразим |
|
через |
модуль напряженности |
|||||||||||
электрического поля у поверхности внутреннего проводника, обозначив эту величину через 0. Тогда = 0 1, где 1 – радиус внутреннего проводника.
Фазовая скорость и скорость переноса энергии у волны в коаксиальной линии, как у любой волны , равны скорости света в среде, заполняющей пространство между внутренним и внешним проводниками.
Потенциальный характер электрических и магнитных полей позволяет говорить о полном токе и о напряжении в коаксиальной линии. Разность потенциалов между центральным и внешним проводниками равна
2 |
|
|
2 |
|
|
̇= ∫ ̇∙ = |
|
−. |
|||
|
|||||
|
0 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Ток, текущий по поверхности центрального проводника, и по внутренней поверхности внешнего проводника, равен
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 |
|
|
|
̇ |
̇ |
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
= ∙ = ∫ |
∙ ( , ) ∙ = |
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отношение напряжения ̇к |
току ̇в режиме бегущей волны |
|||||||||||||
называется волновым сопротивлением коаксиальной линии |
|
|||||||||||||
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
ln |
2 |
= 60√ |
|
ln |
2 |
[Ом]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
̇ |
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Внутренний проводник коаксиальной линии может быть сплошным, сплетенным из отдельных проволочек, либо трубчатым. Обычно этот проводник выполняется из меди или с целью увеличения механической прочности, из биметаллической проволоки (стальная проволока, покрытая слоем меди).
Внешний проводник в зависимости от назначения линии представляет собой либо полую трубу (на рисунке в верхней части) – жесткая коаксиальная линия, либо выполняется в виде оплетки (на рисунке в нижней части) из медной проволоки или ленты – гибкий коаксиальный кабель.
Коаксиальное расположение внутреннего и внешнего проводников коаксиальной линии обычно поддерживается изоляторами в виде шайб (на рисунке в верхней части), колпачков и др. В диапазоне СВЧ изоляторы выполняются из диэлектриков с малыми потерями (фторопласта, полиэтилена, полистирола, СВЧ-керамики и др.). Применяют также коаксиальные линии со сплошным диэлектрическим заполнением (на рисунке в нижней части). При частичном заполнении
коаксиальной линии диэлектриком скорость распространения волны меньше скорости света в воздухе, но выше скорости света в сплошной диэлектрической среде.
Электрические и магнитные волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Продольная составляющая |
|
|
̇, |
волн |
|
|
|
является |
решением |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (аналогично круглому волноводу) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 ̇ |
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
1 |
2 ̇ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
̇ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
и согласно представлению решения в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
= ( ) ∙ |
Ф( ), |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф( ) = sin + cos = 1 cos ( − 0), |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
; = arctg ; – целое число, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где = √2 + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( ) = ∙ |
|
( ) + ∙ |
( ), |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
здесь |
( ) |
и |
|
( |
) – функции Бесселя m-го порядка первого и |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
второго |
рода, |
соответственно, |
|
|
и |
|
– произвольные |
константы, |
|||||||||||||||||||
получаем
= [ ∙ ( ) + ∙ ( )] ( − 0) −.
Поскольку точка = 0 находится вне области, где сосредоточено электромагнитное поле волны, то в решении сохранена функция( ), которая была отброшена при анализе полей в круглом волноводе. Так как обращается в нуль у поверхности внутреннего и внешнего проводников, то
{ ∙ ( 1) + ∙ ( 1) = 0,∙ ( 2) + ∙ ( 2) = 0.
Откуда следует трансцендентное уравнение
( 1) = ( 1) ,( 2) ( 2)
из которого находится величина γ . Совершенно аналогично можно показать, что в случае магнитных волн величина γ является корнем трансцендентного уравнения
′ |
( |
|
) |
|
′ |
( |
|
) |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
. |
′ |
( |
) |
′ |
( |
) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
Корни уравнений, число которых бесконечно, находятся либо графически, либо численными методами.
Как показывает анализ полученных уравнений, первым высшим типом волны в коаксиальной линии является при любом диаметре внутреннего проводника волна 11. Структура этой волны в поперечном сечении линии показана на рисунке.
Критическую частоту волны 11. в коаксиальной линии можно определить достаточно точно, не решая уравнения. Действительно, если1 = 0, то коаксиальная линия превращается в круглый волновод, низшим типом, волны в котором является волна 11.
Введение вдоль оси круглого волновода тонкого металлического стержня, как это имеет место в коаксиальной линии, слабо влияет на распространение волны 11 ввиду отсутствия у нее продольных составляющих электрического поля. Поэтому при малых значениях 1 критическая длина волны 11 в коаксиальной линии приближенно равна критической длине волны 11 в круглом волноводе т.е.
λHкр11 ≈ 3,41R2.
Рассмотрим другой предельный случай, когда 1 ≈ 2. Структура поля волны 11 в плоскости поперечного сечения такой коаксиальной линии изображена на рисунке справа. Для сравнения рядом (на рисунке слева) построена структура поля волны 20 в прямоугольном волноводе, изогнутом в поперечной плоскости по дуге большого радиуса.
Почти полная тождественность обеих структур позволяет считать, что критические частоты волны 11 в коаксиальной линии (при 1 →2) и волны 20 в прямоугольном волноводе совпадают. Критическая длина волны у 20 равна размеру широкой стенки прямоугольного волновода длину, которой в изогнутом волноводе можно приближенно
считать равной (1 |
+ 2). Следовательно, при 1 |
→ 2 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
11 |
≈ ( |
+ |
) = 3.14 (1 + |
|
). |
|
|
||||||
кр |
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1 2 полученная формула дает значение кр11 = 3.142, что
отличается менее чем на 10 % от полученного ранее значения кр11 = 3.412.
Таким образом, можно без большой погрешности пользоваться
формулой для 11 не только при 1 ≈ 2, но и при произвольных
кр
значениях 1 и 2.