Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (6.2)

6.2. Направляемые электромагнитные волны

Классификация направляемых волн

Направляемые волны делятся на поперечные, электрические, магнитные и смешанные.

Поперечными, или волнами ( -первая буква английского слова transvers, что означает «поперечный»), называются волны, у которых в продольном направлении, т.е. в направлении распространения энергии, отсутствуют составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей. Векторы и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Электрическими, или волнами , называют волны, у которых вектор электрического поля, помимо поперечных составляющих, имеет продольную составляющую. Продольная составляющая вектора магнитного поля равна нулю. Волны иногда называют поперечными магнитными волнами, или волнами .

Магнитными, или волнами , называют волны, у которых вектор магнитного поля, помимо поперечных составляющих, имеет продольную составляющую. Продольная составляющая вектора электрического поля равна нулю. Волны иногда называют поперечными электрическими волнами, или волнами .

Смешанными (гибридными) называют волны, у которых векторы электрического и магнитного полей имеют как продольную, так и поперечные составляющие.

Связь между продольными и поперечными составляющими полей в однородной направляющей системе

Рассмотрим произвольную бесконечно длинную направляющую систему, ориентированную вдоль оси . Будем полагать, что направляющая система не вносит потерь и однородна, т.е.:

форма поперечного сечения не зависит от координаты ;

параметры среды, в которой распространяется электромагнитное поле, и граничные условия, которым удовлетворяют поля, не зависят от координаты .

При отсутствии сторонних источников векторы напряженности монохроматических электрического и магнитного полей должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца

∆ ̇+ 2ε̇̇ ̇= 0,

∆ ̇+ 2ε̇̇ ̇= 0.

Будем искать частные решения этих уравнений для случая электромагнитных волн, бегущих вдоль однородной направляющей

системы. При этом зависимость векторов ̇и ̇от координаты должна описываться множителем е± ∙, т.е.

̇= ̇(, ) е± ∙ = ̇е± ∙,

̇= ̇(, ) е± ∙ = ̇е± ∙,

где множитель е− ∙ соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси z, а множитель е+∙ – волне, бегущей в обратном направлении. Индекс означает, что рассматриваемая величина зависит только от поперечных координат, и – координаты поперечного сечения линии передачи. Выбор конкретной системы координат зависит

поперечным волновым числом.

Каждое из полученных векторных уравнений эквивалентно трём скалярным уравнениям для продольной и двух поперечных составляющих. Однако при анализе линий нет надобности искать решения всех шести уравнений. Достаточно решить уравнения для продольных составляющих, т.е. два уравнения. Поперечные составляющие можно выразить через продольные с помощью соотношений, вытекающих из дифференциальных уравнений Максвелла. При выводе этих соотношений и для упрощения записи

записать в виде

продольные составляющие поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к

где значок при градиенте означает, что производные берутся только

необходимо решить с учетом граничных условий только два

и воспользоваться равенствами полученными выражениями для определения поперечных составляющих.

Критическая частота. Критическая длина волны

Выражение для поперечного волнового числа

2 = 2 − 2

Можно переписать

2 = 2 − 2,

откуда следует, что постоянная распространения является вещественной величиной, если

≤ √ = 2√

и мнимой величиной, если

> 2√ .

В первом случае фаза изменяется вдоль оси по линейному закону, что является признаком распространения волны с постоянной фазовой скоростью вдоль этой оси. Во втором случае вдоль оси фаза остается постоянной, а амплитуда убывает по экспоненциальному закону, что является признаком отсутствия переноса энергии вдоль направляющей системы. Частота, определяемая из условия

Свободное распространение волны по направляющей системе имеет место лишь при

2√ ≥ или ≥ 2 ,

√

то есть на частотах, превышающих критическую > кр или < кр. По аналогии с обычным определением назовём длиной волны в

направляющей системе минимальное расстояние между поперечными сечениями, соответствующими различным значениям координаты , в которых колебания сдвинуты по фазе на 2. Так как зависимость всех составляющих поля от координаты описывается выражением е−, то= 2⁄ . Подставляя сюда выражение для , получим