Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (2.7)

Левая часть уравнения будет складываться из потока вектора 1 через верхнюю ( в) и боковую ( б1) части поверхности объема 1, а также потока вектора 2 через нижнюю ( н) и боковую ( б2) части поверхности объема 2.

Полный электрический заряд, заключенный в объеме (правая часть выражения, суммируется из зарядов, сосредоточенных в 1, в 2 и распределенных по поверхности 12

1 + 1 + 2 + 2 =

( в) ( б1) ( б2) ( н)

Совершим предельный переход, устремив высоту объема к нулю. Очевидно, что при этом второй и третий интегралы слева и первые два интеграла справа обратятся в нуль. Какой бы ни была первоначальная конфигурация объема, при → 0 поверхности в и н совмещаются с12. Поэтому выражение принимает вид:

направлены, получаем первые пограничные соотношения:

для нормальных компонент вектора –1 − 2 = пов,

и для нормальных составляющих вектора –

ε 1 1 − ε 2 2 = пов.

Перпендикулярная границе раздела сред составляющая вектора терпит разрыв при переходе волны из 1-й среды во 2-ю ( 1 ≠ 2 ), если поверхность раздела заряжена и (или) если диэлектрические проницаемости сред различны.

Повторив аналогичный вывод на основе четвертого уравнения максвелла для вектора , с учетом отсутствия в природе магнитных зарядов, нетрудно получить:

1 − 2 = 0,

μ1 1 − μ2 2 = 0.

Нормальная составляющая вектора при пересечения волной границы раздела сред терпит разрыв ( 1 ≠ 2) когда среды отличаются по магнитным свойствам (μ1 ≠ μ2).

Перейдем к касательным компонентам поля. Вновь рассмотрим участок бесконечной поверхности, разделяющей среды 1 и 2. Однако теперь выберем произвольный замкнутый контур , расположив его так, чтобы он частично находился в первой среде, а частично – во второй.

Для общности допустим, что по границе раздела сред протекает

электрический ток с плотностью ̇ . Будем считать, что в толще сред 1

пов

и 2 также существуют токи проводимости, характеризующиеся

плотностями ̇ и ̇ .

пр1 пр2

Применим к контуру закон Ампера – запишем первое уравнение Максвелла в интегральной форме

= ( пр + ) .

( ) ( )

Циркуляцию вектора по контуру (левая часть выражения) можно вычислить суммированием линейных интегралов по отдельным отрезкам контура, совершая обход в произвольно принятом направлении, например, против часовой стрелки:

Осуществим, как и в предыдущем анализе, предельный переход, уменьшая до нуля размер контура. Тогда петля « − − − − −− » стягивается в линию « − », и поэтому в левой части обратятся в нуль 2, 3, 5, 6-й интегралы и в правой части 1, 2, 3, 4-й интегралы. Тогда останется

Учитывая противоположные направления векторов 1 приходим к пограничным соотношениям для касательных компонент

векторов и :

1 − 2 = пов,

1 − 2 = пов.1 2

Как следует из полученных выражений, касательная компонента магнитного вектора при переходе волны из одной среды в другую изменяется на величину плотности электрического тока, текущего по

поверхности раздела ( 2 = 1 − пов). Если пов = 0, касательная магнитная компонента на граничной поверхности непрерывна.

Проведем теперь рассуждения, подобные вышеизложенным, применительно ко второму уравнению Максвелла

= − ,

( ) ( )

записав его для контура « − − − − − − »

∫ 1 1 + ∫ 1 1 + ∫ 2 1 + ∫ 2 1 + ∫ 2 1 + ∫ 1 1 =

на рисунке) – во второй среде. Поскольку в точке ориентация вектора1 и его модуль известны, легко графически найти его нормальную ( 1) и касательную ( 1) составляющие, спроектировав вектор 1 на оси и . При прохождении волны через поверхность раздела сред (т.е. при переходе из точки в точку ) должны выполняться пограничные соотношения

лежит в плоскости yOz Таким образом, поставленная задача решена.