Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (5.2)
.pdf5.2. Законы Френеля
Введем комплексные коэффициенты отражения и преломления для
- и -составляющих волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
||
|
|
̇ = |
отр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
= |
|
|
пр |
|
|
||||||||||
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
||
|
|
̇ |
= |
отр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
= |
|
|
|
пр |
|
|
|||||||
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|||||||
Модули | ̇ |
|
| и | ̇ |
| – характеризуют амплитуды отраженной и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преломленной волн, а аргументы arg ̇ |
|
, arg ̇ |
|
|
– их фазы. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Законы Френеля для горизонтально-поляризованной волны |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Подчиним пограничному соотношению 1 |
− 2 = 0 (при = 0) |
||||||||||||||||||||||||||||||
-составляющую поля в 1-й и 2-й среде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
̇ |
|
∙ −1∙ ∙sinΘпад + ̇ |
|
|
∙ −1∙ ∙sinΘотр = ̇ |
|
|
∙ −2∙ ∙sinΘпр. |
|||||||||||||||||||||||
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
отр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
||||||
Записанное равнение справедливо для любого , поэтому в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
+ ̇ |
|
= ̇ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|
отр |
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полагая, что на границе раздела сред отсутствуют поверхностные |
|||||||||||||||||||||||||||||||
токи, подчиним пограничному условию 1 |
− 2 |
= пов = 0 (в точках |
|||||||||||||||||||||||||||||
= 0, |
= 0) -составляющую поля в 1-й и 2-й средах |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
̇ |
|
∙ cos Θ |
пад |
+ ̇ |
|
∙ cos Θ |
отр |
= ̇ |
|
|
∙ cos Θ |
пр |
|||||||||||||||||
|
|
пад |
|
|
|
|
|
отр |
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
||||||||||
Или с учетом первого закона Снелля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( ̇ |
|
− ̇ |
) ∙ cos Θ |
пад |
= ̇ |
|
|
∙ cos Θ |
пр |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
пад |
|
|
|
отр |
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Как мы получили при рассмотрении распространении электромагнитной волны среде без потерь для волнового сопротивления среды
|
|
|
|
̇ |
|
̇ |
|
̇ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
|
|
||
|
|
|
|
̇ |
̇ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|||
|
|
̇ |
|
|
|
̇ |
|
||||||
|
пад |
= √ |
1 |
= ̇, |
|
|
пр |
= √ |
2 |
= ̇ |
|||
|
̇ |
|
|
̇ |
̇ |
||||||||
|
|
̇ |
1 |
|
|
2 |
|||||||
|
пад |
|
1 |
|
|
|
|
пр |
|
2 |
|
||
и справедливо
|
|
|
|
̇ |
|
̇ |
= ̇, ̇ |
= ̇ ∙ |
1 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
2 |
|
Тогда граничные условия приму вид системы из двух уравнений
|
1 + ̇ = ̇, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
||
(1 − ̇) ∙ cos Θ |
|
= ̇ |
∙ |
1 |
|
∙ cos Θ |
|
. |
||
пад |
̇ |
пр |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Решением полученной системы уравнений являются формулы
Френеля для комплексных коэффициентов отражения ̇ и преломления
̇ горизонтально-поляризованной падающей волны
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) |
|
̇∙ cos Θпад |
− cos Θпр |
||||||||
̇ |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
||
̇ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇∙ cos Θпад |
+ cos Θпр |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ∙ |
2 |
∙ cos Θпад |
||||||
(г) |
|
|
̇ |
||||||||
̇ |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇∙ cos Θпад + cos Θпр |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) |
(г) |
рассчитываются с учетом |
||||
Для магнитных составляющих ̇ |
, ̇ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
||||
̇ |
= ̇, |
̇ |
= ̇ ∙ |
|
1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Формулы Френеля показывают, что в общем случае отражение и преломление волны на границе раздела сред сопровождается скачкообразным изменением амплитуды и фазы. Синфазность падающей, отраженной, преломленной волн имеет место в двух частных случаях: когда в средах 1, 2 нет потерь или когда разница электрических и магнитных потерь одинакова ( э1 − м1 = э2 − м2), поскольку, как мы записывали
|
̇ |
|
′ |
|
1 − ∙ tg |
′ |
|
cos |
|
||||
|
|
̇ |
|
̇ |
|
|
|||||||
̇= √ |
|
|
= √ |
|
|
∙ |
м |
= √ |
|
|
∙ |
э |
∙ e(э−м)/2, |
̇ |
′ |
|
′ |
cos |
|||||||||
|
|
̇ |
|
1 − ∙ tg |
̇ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
э |
|
|
м |
|
||||
и модуль и аргумент ̇равны соответственно
|
′ |
|
cos |
|
|
1 |
|
||
|
̇ |
|
|
|
|
||||
̇ |
|
|
∙ |
э |
, |
̇ |
|
|
( э − м). |
′ |
|
|
|
||||||
| | = √ |
cos |
arg = |
2 |
||||||
|
̇ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
Введем коэффициенты отражения и преломления для потоков мощности
|
|
|
|
|
П̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(г) |
|
|
|
отр |
|
(г) |
(г) |
|
(г) |
|
|
|
|||||
̇ |
= |
|
|
|
|
= ̇ |
∙ ̇ |
|
= | ̇ |
| , |
|
|||||||
|
П̇ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П̇пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
(г) |
|
|
|
(г) |
|
(г) |
|
(г) |
|
̇ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
̇ |
= |
|
|
|
|
|
= ̇ |
|
∙ ̇ |
= | ̇ |
|
| ∙ |
|
. |
||||
|
П̇ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|||||
|
|
|
|
пад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
Коэффициенты ̇ |
|
и ̇ |
характеризуют долю мощности, уносимой |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отраженной и преломленной волнами. Из закона сохранения энергиипад = отр + пр следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) |
2 |
(г) |
2 |
|
1̇ |
|
||
1 = | ̇ | |
|
+ | ̇ |
| |
|
∙ |
|
|
. |
|
|
̇ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Законы Френеля для вертикально-поляризованной волны
Если на поверхность, разделяющую две среды, падает волна с вертикальной поляризацией, то комплексные коэффициенты отражения и преломления для нее можно найти, выполнив анализ, подобный приведенному выше для горизонтально-поляризованной волны. Однако в этом нет необходимости. Готовый результат можно получить, применив принцип перестановочной двойственности к формулам
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(г) |
|
̇∙ cos Θпад − cos Θпр |
||||||||
|
|
̇ |
= |
1 |
|
|
|
, |
||||
|
|
|
̇ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
∙ cos Θпад + cos Θпр |
|||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(г) |
|
|
|
|
|
2 ∙ ̇ |
∙ cos Θпад |
|||
|
|
̇ |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
̇∙ cos Θпад + cos Θпр |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Тогда для волны с вертикальной поляризацией коэффициенты |
||||||||||||
Френеля для отражения и преломления будут равны |
||||||||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(в) |
|
|
̇∙ cos Θпад − cos Θпр |
|||||||
|
|
̇ |
= |
|
2 |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
̇ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
∙ cos Θпад + cos Θпр |
|||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(в) |
|
|
|
|
|
2 ∙ ̇∙ cos Θпад |
||||
|
|
̇ |
= |
|
|
|
|
2 |
|
, |
||
|
|
|
|
̇ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
∙ cos Θпад + cos Θпр |
|||||||
|
|
|
|
|
|
̇ |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
(в) |
(в) |
по-прежнему вычисляются по формулам |
||||||||||
причем ̇ |
и ̇ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
̇ = ̇, ̇ = ̇ |
∙ |
2 |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Для потоков мощности
|
(в) |
|
(в) 2 |
|
||||
̇ |
= | ̇ |
|
| |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в) |
|
(в) |
2 |
|
̇2 |
|||
̇ |
|
= | ̇ |
| |
|
∙ |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Законы Снелля и Френеля дают полную информацию о связи направлений распространения падающей, отраженной и преломленной волн, о соотношении их амплитуд, фаз и интенсивностей. Поэтому, пользуясь этими законами, можно решить любую задачу взаимодействия электромагнитной волны с плоской границей раздела двух разных сред, если они линейны и изотропны.