Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (6.7)
.pdf6.7. Электромагнитные волны в круглом волноводе
Круглый волновод. Электрические волны ( ≠ 0, = 0)
В круглом волноводе, как и в прямоугольном волноводе, возможно раздельное существование волн и и невозможно распространение волн . При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат , , , совместив с продольной осью волновода.
Уравнение для
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
2 |
̇ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ + |
|
= 0, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в полярной системе координат имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ 2 = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Представив решение дифференциального уравнения в виде |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = ( ) ∙ |
Ф( ), |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ф( ) = sin + cos = 1 cos ( − 0), |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
; = arctg ; – целое число, |
|
|||||||||||||||||||
где |
= √2 |
+ 2 |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( ) = ′ ∙ |
|
( ) + ′ ∙ |
( ), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
( ) |
и |
( |
|
) |
– функции Бесселя m-го порядка первого и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
второго рода, соответственно (функцию |
( |
) |
часто так же называют |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцией Неймана -го порядка), ′ и ′ – произвольные константы. Функция Бесселя второго рода при → 0 стремится к
бесконечности. Так как напряженность поля в любой точке волновода должна быть ограничена, то необходимо положить = 0. Таким образом,
̇= |
∙ |
( |
) cos ( − |
) −, |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
где 0 = 1′– амплитуда продольной составляющей электрического поля.
Подставляя полученное выражение для ̇в |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− |
2 |
|
̇ |
= ∙ |
|
̇ |
|
|
|
||||||
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
2 |
̇ |
= |
[ × |
̇ |
|||||||||||
|
|
|
], |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
учитывая, что в полярной систем координат |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
1 ̇ |
|
||||||
̇= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
определяем поперечные составляющие поля: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
̇ = − |
|
|
|
′ |
|
( |
) cos m(φ − φ |
) |
−, |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
̇ = |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) sin (φ − φ |
) −, |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
̇ |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) sin |
(φ − φ |
|
) −, |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
̇ |
= − |
|
|
|
|
|
|
′ |
( ) cos (φ − φ |
) −, |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где штрих означает дифференцирование по всему аргументу функций Бесселя.
Чтобы найти воспользуемся граничным условием, согласно которому
|= = 0,
где а – радиус окружности поперечного сечения волновода. Получаем
( ) = 0.
Имеется бесконечно большое количество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называются корнями функции Бесселя. Обозначая m-й корень функции Бесселя -
го порядка через |
находим |
= |
, откуда |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Нумерация -волн, отличающихся друг от друга по структуре поля в плоскости поперечного сечения волновода, осуществляется в соответствии с порядковым номером корня уравнения. Например,
корню |
соответствует волна |
корню |
– волна и т.д. При |
01 |
01 |
12 |
12 |
этом индекс т соответствует числу целых стоячих волн поля, укладывающихся по окружности волновода, а индекс п характеризует распределение поля стоячей волны вдоль радиуса волновода.
Структура нескольких волн представлена на рисунке.
Несколько |
первых корней функций Бесселя |
|
в |
порядке их |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастания и |
соответствующие критические |
длины |
|
|
волн кр |
||||
представлены в таблице. Низшим типом среди волн в круглом волноводе является волна 01.
|
Тип волны |
01 |
11 |
21 |
|
02 |
|
31 |
12 |
|
41 |
22 |
03 |
|||
|
|
|
|
2,405 |
3,832 |
5,135 |
5,520 |
6,379 |
7,016 |
7,586 |
8,417 |
8,654 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2,613 |
1,640 |
1,223 |
1,138 |
0,985 |
0,895 |
0,828 |
0,746 |
0,726 |
||||||
|
кр |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Круглый волновод. Магнитные волны ( |
≠ 0, |
= 0) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая в полярных координатах уравнение |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
̇ |
+ |
2 |
̇ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогично случаю электрических волн получаем выражение для продольной составляющей магнитного поля в круглом волноводе:
̇ = ̇ |
|
|
( |
) |
( − |
0 |
) −. |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что |
|
|
= |
|
|
|
1 |
определяем поперечные |
||
|
+ |
0 |
, |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
составляющие поля
̇ = |
а |
|
|
|
|
( |
|
|
) sin (φ − φ |
|
) −, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
̇ = |
|
а |
|
′ |
|
( |
|
) cos (φ − φ |
|
) − |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
̇ = − |
|
|
′ |
|
( |
|
) cos (φ − φ |
|
) − |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
̇ = |
|
|
|
|
( |
) sin (φ − φ |
) −, |
|
||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где штрих означает дифференцирование по всему аргументу функций Бесселя.
Для определения поперечного волнового числа воспользуемся граничным условием
̇ = 0.
Подставляя выражение ̇ в граничные условия и учитывая, что в
круглом волноводе дифференцирование по нормали соответствует дифференцированию по радиусу, получаем трансцендентное уравнение
′ ( ) = 0.
Отметим, что при выполнении полученного равенства касательная
к стенкам волновода составляющая электрического поля ̇ равна нулю
на поверхности стенок волновода. Обозначив корни уравнения, число которых бесконечно, через , находим поперечное волновое число
волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где нумерация волн |
аналогична нумерации волн . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несколько |
первых |
корней |
функций Бесселя |
|
в порядке их |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастания и соответствующие критические длины волн кр |
|||||||||||||||
представлены в таблице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тип волны |
|
11 |
21 |
01 |
31 |
41 |
12 |
31 |
22 |
02 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,84 |
3,05 |
3,83 |
4,20 |
5,32 |
5,33 |
6,42 |
6,71 |
7,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3,41 |
2,06 |
1,64 |
1,50 |
1,182 |
1,178 |
0,979 |
0,934 |
0,896 |
|
|||
|
кр |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Низшим типом среди не только волн , но и всех волн в круглом волноводе является волна 11. Интересно отметить, что структура поля
этой волны близка к структуре поля волны 10 в прямоугольном волноводе, также имеющей максимальную критическую длину волны.
Производная функция Бесселя -го порядка связана с функциями Бесселя и ( + 1)-го порядка известным равенством
′ ( ) = ( ) − +1( ).
Поэтому граничное условие ′ ( ) = 0 эквивалентно уравнению
+1( ) = ( ).
При = 0 уравнение имеет вид
1( ) = 0.
Из сравнения вытекает с ( ) = 0 для электрических волн получаем, что
1 = 0 ,
т.е. кр1 = кр0 и в круглом волноводе волны 1 и 0 являются вырожденными.
Структура нескольких волн представлена на рисунке.