Электродинамика (РТФ, Климовский, 5 семестр) / Электродинамика .pdf / ЭД (2.8)

решения волновых уравнений и не удовлетворяют опережающие решения. Следовательно, соотношение Зоммерфельда позволяет в случае неясности выбрать из нескольких решений правильное.

Принцип перестановочной двойственности

Уравнения Максвелла относительно магнитного поля и электрического поля

−̇↔ ̇, ̇↔ ̇.

Рассмотрим картину магнитных силовых линий, возникающую вблизи тонкой проводящей полоски шириной , по которой протекает электрический ток Э. В непосредственной близости от проводника магнитные силовые линии в значительной мере повторяют его контур. На самой поверхности проводника магнитный вектор касателен к плоскости полоски, отмеченной сплошной линией. С удалением от полоски силовые линии, постепенно деформируясь, превращаются в окружности.

Картина силовых линий электрического вектора в системе из двух заряженных металлических полуплоскостей, которые разделены зазором шириной выглядит аналогично. С точностью до направления стрелок в верхнем и нижнем полупространствах эта картина тождественна той, которая рассматривалась для проводящей полоски.

Сходство картин данных полей позволяет чисто формально предположить, что в щели параллельно кромкам протекает некоторый гипотетический ток М, называемый магнитным током.

Подчеркнем, что в силу характера магнитного поля физических носителей магнитного тока не существует. Понятие магнитного тока играет вспомогательную роль, позволяя в ряде случаев значительно упростить расчеты.

Если в правой части первого уравнения Максвелла фигурирует плотность стороннего электрического тока стэ , то для сохранения симметрии уравнений в правую часть второго уравнения следует ввести гипотетическую плотность стороннего магнитного тока стм , такую, что

э̇ ↔ − м̇.

ст ст

В этом случае система уравнений Максвелла принимает вид

отображают принцип перестановочной двойственности для электромагнитного поля при наличии сторонних токов. В соответствии с этим принципом, если известно решение какой-либо электродинамической задачи, простая перестановка позволяет сразу получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой конфигурация силовых линий магнитного поля повторяет конфигурацию силовых линий электрического поля в исходном процессе. При этом, поскольку уравнения Максвелла не меняют своего вида, дуальный электромагнитный процесс заведомо существует.

Практическую ценность данного принципа можно проиллюстрировать на примере из области антенной техники. Допустим, строго решена задача об излучении металлической вибраторной антенны, изображенной на рисунке слева. Это значит, что получены аналитические выражения для расчета напряженности поля в любой точке пространства, окружающего излучатель.

Если теперь поставлена новая задача: рассчитать поле излучения антенны на рисунке справа в виде сквозной щели, конгруэнтной с излучателем и прорезанной в бесконечном металлическом экране, то подробное решение этой задачи выполнять не нужно.

Чтобы вычислить ̇щ (или ̇щ), создаваемые щелевой антенной в

произвольной точке, следует взять выражение для ̇в (или ̇в) вибраторной антенны и в нем произвести перестановку по указанному выше правилу. Мы сразу получим готовые формулы для новой задачи, строгое решение которой сопряжено с определенными математическими трудностями.

Принцип взаимно дополнительных экранов

Данный принцип утверждает, что электромагнитные поля, возникающие вследствие дифракции (рассеяния) волны на плоском металлическом экране конечных размеров с произвольной конфигурацией границ (на рисунке слева) и на конгруэнтном с ним отверстии в бесконечно протяженном плоском металлическом экране (на рисунке справа), равны по модулю и отличаются на 180° по фазе:

̇1 = − ̇2, ̇1 = −̇2.

Единственность решения внутренней задачи электродинамики

Внутренней называется задача по определению электромагнитного поля в точках внутри замкнутого объема, содержащего в себе один или несколько источников электромагнитных волн. На рисунке изображено сечение такого объема поперечной плоскостью. Звездочками обозначены внутренние источники поля.

Пусть и – произвольные точки на поверхности объема, а ,– значения касательной компоненты вектора на этой поверхности. Кривые 1, 2, 3 – некоторые (из всех возможных) варианты изменения напряженности электрического поля внутри в точках, лежащих на хорде .

Если для замкнутого объема известны свойства среды, заполняющей объем; в каждой точке поверхности объема задано

информация о расположенных внутри объема сторонних электрических и магнитных источниках (интенсивность, частота, координаты, ориентация), то уравнения Максвелла имеют одноединственное решение при условии, что среда внутри объема или на его стенках обладает конечными потерями (например, решение 1 на рисунке).

При отсутствии потерь единственность решения сохраняется в том случае, когда частота источников поля, расположенных внутри объема, не совпадает с его резонансной частотой. В случае резонансной настройки источников и отсутствии потерь в объеме единственность решения уравнений Максвелла исчезает, то есть уравнения Максвелла допускают два, три и более решений, опирающихся на одинаковые значения и на поверхности , но отличающихся одно от другого внутри объема .

Единственность решения внешней задачи электродинамики

Принцип приложим к техническим устройствам, в которых источники (обозначены звездочками на рисунке) расположены вне заданного объема на конечном расстоянии от его поверхности.

Единственность решения уравнений Максвелла гарантирована, если в окружающей среде или в стенках объема имеются хотя бы небольшие потери (например, решение 1 на рисунке).

При полном отсутствии потерь и при совпадении частоты источника и собственной резонансной частоты объема единственность решения нарушается (например, варианты решений 1, 2, 3 на рисунке, имеющие одинаковое значение напряженности поля на стенке объема, но разный ход зависимостей ( ) вне объема при > .

Принцип взаимности

Математическая формулировка принципа вытекает из леммы

Будем также предполагать наличие потерь в среде, заполняющей объем, что всегда имеет место на практике. В этом случае последнее соотношение можно существенно упростить. Действительно, равенство сохраняется, если, оставляя на месте источники, беспредельно увеличивать объем и, следовательно, его поверхность . Поскольку размер поверхности растет пропорционально 2 (здесь – расстояние от некоторого центра, выбранного в месте сосредоточения источников

поля, до поверхности ), а напряженности полей | ̇| и | ̇| в среде с потерями убывают быстрее, чем по закону −1, то интеграл в левой части выражения при → ∞ становится равным нулю.

причем интегрирование слева и справа осуществляется по той части

̇1,2 = ∫ ̇1,2 ,

ℓ1,2

создаваемые на зажимах 1-й (или 2-й) антенны, работающей на прием, если 2-я (или 1-я) антенна подключена к передатчику:

Выражение для принципа взаимности можно переписать в виде:

стэ̇1 = ̇2,̇1

и следует понимать так, что любая антенна одинаково успешно (или неуспешно) работает как на передачу, так и на прием.

Принцип взаимности справедлив только при расположении антенн в изотропных (взаимных) средах. Наличие анизотропной среды между антеннами нарушает изложенный принцип.

Принцип Гюйгенса–Кирхгофа

При гармоническом законе изменения поля во времени в уравнениях может быть осуществлена формальная замена 2⁄ 2 на (−2). Тогда, например, волновые уравнения потенциалов

постоянной распространения волны. Полученные уравнения называются уравнениями Гельмгольца (Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz,1821 – 1894).

Решением полученных уравнений Гельмгольца являются выражения:

скалярную компоненту векторов напряженности поля

окружающей объем поверхности известны как сами перечисленные скалярные компоненты, так и их нормальные производные (нормаль к стенке ориентируется внутри объема):

Принцип электродинамического подобия

Принцип часто используется в радиолокационной и антенной технике. Если все размеры антенны и ее рабочую длину волны одновременно уменьшить (или увеличить) в одинаковое число раз, то параметры антенны (входные сопротивления, излучательная активность, характеристики направленности излучения) сохранятся. Точно так же не изменяется радиолокационные характеристики объекта

– самолета, ракеты, спутника (эффективная поверхность рассеяния, поляризационная картина отраженной волны и др.), если удовлетворено требование подобия. Указанный принцип используется для испытаний на удобных по размерам моделях сложных антенн и радиолокационных объектов.