4. Алгоритм Форда-Фалкерсона.

Метод заключается в поиске возможных путей из A_S в A_T, увеличивающих поток. За начальный выбирается любой произвольный поток в графе, в частности нулевой.

Поиск выполняют в два этапа.

На первом этапе вершинам присваивают специальные пометки, указывающие направление возможного увеличения отдельных дуговых потоков; на втором – производят изменение потока в графе.

Рассмотрим работу алгоритма на примере графа с одним источником a_S и одним стоком a_t , обобщив затем его для задач с несколькими A_S и A_T.

Расстановка меток

На первом этапе каждая вершина графа находится в одном из трех состояний: «не помечена», «помечена, но не просмотрена», «помечена и просмотрена».

Пометка любой вершины графа a_j состоит из двух частей: первая часть указывает индекс вершины, из которой можно послать поток в рассматриваемую a_j, вторая – максимальную величину, на которую можно увеличить поток из a_S в a_j без нарушения ограничений на пропускные способности дуг. Сначала все вершины не помечены.

Пометки расставляют, начиная с источника a_S, который получает пометку [S⁺, ε(S) = ∞] , что указывает на возможность посылки неограниченного сверху потока из a_S в a_j . Вершина a_S считается помеченной, но не просмотренной.

Пусть имеется некоторая помеченная, но не просмотренная вершина a_j, имеющая пометку [i⁺, ε(j)] или [i^-, ε(j)] . Знак в первой части пометки указывает направление дугового потока: если i⁺ – приращение потока в дуге b_ij совпадает на втором этапе с направлением первоначального потока дуги, если i^- – приращение потока в дуге b_ij на втором этапе, противоположное направлению первоначального потока. Из множества соседних с a_j вершин Гa_j выделим подмножество A_K непомеченных вершин, для которых дуговой поток x_jk меньше пропускной способности c_jk . Припишем каждой соседней вершине a_g ∈ A_k пометку [j⁺, ε(g)], где ε(g) = min[ε(j); (c_ig - x_ig)].

Выделим подмножество A_h ⊂ Гa_j \ A_k непомеченных вершин, для которых x_hj > 0, то есть поток «идет» в противоположном направлении.

Припишем каждой последующей соседней вершине a_f ∈ A_h пометку [j^-, ε(f)], где ε(f) = min[ε(j); (x_fj + c_fj)]. В результате все соседние с a_j вершины, которые могут получить пометки, оказываются помеченными, но не просмотренными. А вершина a_j – помеченной и просмотренной.

Продолжаем приписывать пометки вершинам соседним с помеченными и не просмотренными узлами, до тех пор, пока либо сток a_T не будет помечен, либо не будет ни одной вершины, которая могла бы быть помечена, и сток a_T окажется без пометки. Если a_T не получает пометки, то дальнейшее увеличение потока в сети невозможно, то есть исходный поток максимален. Иначе переходим ко второму этапу – изменению потока в сети.

Увеличение потока

Пусть по результатам первого этапа сток a_T получил метку [p⁺, ε(T)] . В этом случае заменяем x_PT на (x_PT + ε(T)). Если же сток получит пометку [p^-, ε(T)] , то x_PT заменяем (x_PT - ε(T)).

Переходим к предыдущей вершине a_P. Если она имеет пометку [p⁺, ε(T)], то x_jT заменяем на (x_jT + ε(T)). Переходим к вершине a_j и т. д.

Процесс изменения потока продолжается до прихода в источник a_S. После этого все старые пометки стираются, и делается попытка вновь увеличить поток в графе (переходим к первому этапу алгоритма).

АЛГОРИТМ

• Расстановка пометок

1. Присвоить вершине S (источнику) пометку [S⁺, ε(S) = ∞]. Вершине S присвоена пометка и она просмотрена, все остальные вершины без пометок.

2. Взять некоторую непросмотренную вершину a_i с пометкой; пусть ее пометка будет [±i, ε(j)].

1. Каждой непомеченной вершине a_j ∈ Гa_j, для которой x_ij < c_ij, присвоить [+i, ε(j)], где ε(j) = min[ε(j); (c_ij - x_ij)].

2. Каждой непомеченной вершине a_j ∈ Г^-1a_i, для которой x_ij > 0, присвоить пометку [-i, ε(j)], где ε(j) = min[ε(j); x_ij].

Теперь вершина a_i и помечена, и просмотрена, а вершины a_j, пометки которым присвоены в а) и b), являются непросмотренными. Обозначить, что вершина a_i просмотрена.

3. Повторить 2 до тех пор, пока либо сток T будет помечен, и тогда перейти к 4, либо T не будет помечен и никаких других пометок нельзя будет расставить. В этом случае алгоритм заканчивает работу с максимальным вектором потока X. Идти к 7.

• Увеличение потока

4. Положить j = T и идти к 5.

5. a) Если пометка в вершине a_j имеет вид [+i, ε(j)], то изменить поток вдоль дуги b_iT с x_iT на (x_iT + ε(T)).

b) Если пометка в вершине a_j имеет вид [-i, ε(j)], то изменить поток вдоль дуги b_iT с x_iT на (x_iT - ε(T)).

6. Если a_i = S , то стереть все пометки и вернуться к шагу 1, чтобы вновь начать расставлять пометки, но используя уже улучшенный поток, найденный на шаге 5. Если ai ≠ S , то взять a_i = a_(i-1) и вернуться к шагу 5.

• Конец работы алгоритма