Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика спецглавы (РТФ, 3 семестр) / Практика (удаленка) / Zadachi_po_formule_polnoi_774_veroyatnosti_i_Bai_774_esa1

.docx
Скачиваний:
31
Добавлен:
06.08.2022
Размер:
114.41 Кб
Скачать

Задачи по формуле полной вероятности и Байеса. Практика 1

  1. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Краткая теория

Если событие  наступает только при условии появления одного из событий  образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события  равна сумме произведений вероятностей каждого из событий  на соответствующую условную вероятность кошелек .

При этом события  называются гипотезами, а вероятности  – априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий  образующих полную группу событий произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т.е. по существу нужно найти условные вероятности .

Формула Байеса выглядит так:

Условие задачи 1

На фабрике станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?

Решение задачи 1

Гипотезы и условные вероятности

Обозначим через A событие, состоящее в том, что стандартное изделие оказалось дефектным.

Событие A может произойти только при условии наступления одного из трех событий:

B1 -изделие произведено на станке 1;  P(B1)=0.2

B2  - изделие произведено на станке 2; P(B2)=0.35

B3  - изделие произведено на станке 3; P(B3)=0.45

Запишем условные вероятности:

P(A/B1)=0.06 P(A/B2)=0.04 P(A/B3)=0.02

Формула полной вероятности

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий B1 , B2, B3   , которые образуютполную группу несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле

P(A)=P(B1)* P(A/B1) + P(B2)* P(A/B2) + P(B3)* P(A/B3)

По формуле полной вероятности находим вероятность события A:

P(A)= 0.2 *0.06 + 0.35*0.04 + 0.45*0.02 = 0.035

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 1:

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 2:

Вероятность того, что дефектное изделие изготовлено на станке 3:

Условие задачи 2

Вероятность применения противником помех равна 0.7, при этом вероятность обнаружения самолета уменьшается с 0.9 до 0.6.

  1. Найти вероятность обнаружения самолета противника.

  2. Найти вероятность того, что помехи были применены, если самолет был обнаружен

Решение задачи 2

Гипотезы и условные вероятности

Обозначим через A событие, состоящее в том, что самолет обнаружен.

Событие A может произойти только при условии наступления одного из двух несовместных событий:

B1 –помехи не применялись;  P(B1)=0.3

B2  - помехи применялись;  P(B2)=0.7

Запишем условные вероятности:

Вероятность обнаружения самолета, если помехи не применялись

P(A/B1)=0.9

Вероятность обнаружения самолета, если помехи применялись

P(A/B2)=0.6

Формула полной вероятности

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий B1 , B2, которые образуютполную группу несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле

P(A)=P(B1)* P(A/B1) + P(B2)* P(A/B2)

По формуле полной вероятности находим вероятность события A:

P(A)= 0.3 *0.9 + 0.7*0.6 = 0.69

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что вероятность того, что помехи были применены, если самолет был обнаружен :

Условие задачи 3

В одной партии все детали исправны, в другой - на 25% бракованы.

  1. Найти вероятность взять исправную деталь из наугад выбранной партии.

  2. Найти вероятность того, что она (исравная деталь) была выбрана из первой партии

Решение задачи 3

Гипотезы и условные вероятности

Обозначим через A событие, состоящее в том, что взята исправная деталь.

Событие A может произойти только при условии наступления одного из двух несовместных событий, (партии выбираем наугад):

B1 –деталь из партии1;  P(B1)=0.5

B2  - деталь из партии2;  P(B2)=0.5

Запишем условные вероятности:

Вероятность взять исправную деталь из первой партии

P(A/B1)=1

Вероятность взять исправную деталь из первой партии

P(A/B2)=0.75

Формула полной вероятности

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий B1 , B2, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле

P(A)=P(B1)* P(A/B1) + P(B2)* P(A/B2)

По формуле полной вероятности находим вероятность события A:

P(A)= 1 *0.5 + 0.75*0.5 = 0.875

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что взятая годная деталь была из первой партии :

Условие задачи 4

Из колоды 36 карт равновозможно потеряна одна карта.

  1. Найти вероятность того, что две наугад взятые карты из этой неполной колоды - тузы.

  2. Найти вероятность того, что был потерян туз, если две наугад взятые карты оказались тузами

Решение задачи 4

Гипотезы и условные вероятности

Обозначим через A событие, состоящее в том, что взяты 2 туза.

Событие A может произойти только при условии наступления одного из двух несовместных событий, (партии выбираем наугад):

B1 –потерян туз;  P(B1)=4/36

B2  - потерян не туз;  P(B2)=32/36

Запишем условные вероятности:

Вероятность взять два туза если потерян туз

P(A/B1)= /

Вероятность взять два туза если потерян не туз

P(A/B2)= /

Формула полной вероятности

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий B1 , B2, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле

P(A)=P(B1)* P(A/B1) + P(B2)* P(A/B2)

По формуле полной вероятности находим вероятность события A:

P(A)= 4/36 * + 32/36 * =

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что был потерян туз :

Условие задачи 5

В одном ящике 3 белых и 4 черных шара, во втором 4 белых и 3 черных..

  1. Найти вероятность вынуть 2 белых шара из наугад выбранного ящика.

  2. Найти вероятность того, что они (два белых шара) были взяты из первого ящика

Решение задачи 5

Гипотезы и условные вероятности

Обозначим через A событие, состоящее в том, что взяты 2 белых шара.

Событие A может произойти только при условии наступления одного из двух несовместных событий, (ящики выбираем наугад):

B1 –выбран первый ящик;  P(B1)=0.5

B2  - выбран второй ящик;  P(B2)=0.5

Запишем условные вероятности:

Вероятность взять два белых шара из первого ящика

P(A/B1)= / =

Вероятность взять два белых шара из второго ящика

P(A/B2)= / =

Формула полной вероятности

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий B1 , B2, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле

P(A)=P(B1)* P(A/B1) + P(B2)* P(A/B2)

По формуле полной вероятности находим вероятность события A:

P(A) =

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Вероятность того, что шары были взяты из первого ящика :

Соседние файлы в папке Практика (удаленка)