Отчёт по лабораторной работе №4

Линейные дискретные системы

Вариант: 13

1. Исследование разомкнутой дискретной системы

Передаточная функция системы:

Реакция системы на единичный ступенчатый входной сигнал при нулевых начальных условиях:

v[0] = 1.7 v[1] = 4.16 v[2] = 2.323

v[3] = 3.0594 v[4] = 2.63657

Нули передаточной функции:

z = -2.0960769

0.4490181

Полюса передаточной функции:

p = -0.5

0.3

Устойчивость: модули = 0.5; 0.3;

Система устойчива, потому что модули собственных чисел меньше 1.

Z-преобразование входного сигнала e1[k]:

E₁(z) = z^-1 + 2z^-2 + z^-3

Z-преобразование входного сигнала e2[k]:

E₂(z) = 2z⁰ + z^-1 +z^-3 + 2z^-4

Результаты моделирования системы при входах e1 (v1), e2 (v2), e1+e2 (v) и 0,5(e1+e2) (v3):

Рисунок 1 – Результаты моделирования системы

Выводы:

Свойство однородности выполняется, потому что умножение входного сигнала на постоянную приводит к умножению выходного сигнала на ту же постоянную.

Свойство суперпозиции (аддитивности) выполняется, потому что реакция на сумму сигналов равна сумме реакций этой системы на отдельные сигналы.

Z-преобразование сигнала e[k] = e1[k] + e2[k]:

E(z) = 2z⁰+2z^-1+2z^-2+2z^-3+2z^-4

Z-преобразование сигнала e3[k] = 0,5·e[k]:

E3(z) = z⁰+z^-1+z^-2+z^-3+z^-4

Z-преобразование запаздывающего сигнала edelay[k] = e[k-2]:

Edelay(z) = 2z^-2+2z^-3+2z^-4+2z^-5+2z^-6

Реакция на запаздывающий сигнал edelay[k]:

Рисунок 2 – Реакция на запаздывающий сигнал

Выводы:

Условие стационарности выполняется, потому что запаздывающий сигнал в точности повторяет значения исходного сигнала.

Z-преобразование единичного ступенчатого сигнала u[k]:

U(z) =

Z-преобразование сигнала выхода системы v[k] при входе u[k]:

V(z) =

Начальное и конечное значения выходного сигнала (теоретически):

v[0] = a₂ = 1.7;

v[ ] = = 2.7619;

Реакция системы на единичный ступенчатый сигнал:

Рисунок 3 – Реакция системы на единичный ступенчатый сигнал

Выводы:

Теоретические расчёты подтверждаются моделированием.

2. Исследование дискретной модели в пространстве состояний

Модель в пространстве состояний:

A = [ 0.75 -0.45

1 0 ];

B = [ 1

0];

C = [ 0.24 0.29];

D = 0.

Собственные числа матрицы A:

0.375 + 0.5562149i

0.375 - 0.5562149i

Устойчивость: модули = 0.6708204; 0.6708204;

Система устойчива, потому что модули собственных чисел меньше 1.

Импульсная характеристика:

Рисунок 4 – Импульсная характеристика

Переходная характеристика:

Рисунок 5 – Переходная характеристика

Передаточная функция:

Полюса передаточной функции:

0.375 + 0.5562149i

0.375 - 0.5562149i

Выводы:

Система устойчива.

Полюса передаточной функции совпадают с собственными числами матрицы A модели в пространстве состояний.

Обратный переход в пространство состояний:

A = [ 0.5750176 -1.144813

0.305187 0.1749824]

B = [ -0.4641563

0.5608555]

C = [ -0.5170672 5.551D-17]

D = 0;

Выводы:

Модели в пространстве состояний оказались разные, потому что одной и той же системе соответствует бесконечное множество моделей в пространстве состояний.

Статический коэффициент усиления системы:

k = 0.7571429.

Выводы:

Установившееся значение переходной характеристики совпадает с результатами моделирования.

Время переходного процесса:

t_п = 8.

3. Исследование замкнутой системы

Передаточная функция регулятора:

Структурная схема системы:

Рисунок 6 – Структурная схема системы

Переходные процессы в системе:

Рисунок 7 – График переходных процессов

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы:

Полюса передаточной функции замкнутой системы:

p = 0.0311437 + 0.4639471i

0.0311437 - 0.4639471i

-0.0050875 + 0.i

Система устойчива, потому что модули собственных чисел меньше 1.

Статический коэффициент усиления замкнутой системы:

kW = 0.1188136

Перерегулирование:

σ = 703.35929

Время переходного процесса:

t_п = 12

Характеристический полином замкнутой системы:

(z) = 0.0011 +0.2159z -0.0572z² +z³

имеет корни

r = 0.0311437 + 0.4639471i

0.0311437 - 0.4639471i

-0.0050875 + 0.i

Устойчивость:

Система устойчива, потому что модули собственных чисел меньше 1.

Запас устойчивости по амплитуде:

gm = 7.7880839.

Запас устойчивости по фазе:

pm =

4. Контрольные вопросы