шпоры мехмат / 15.2 Вывод универсальной формулы определения перемещений (формулы Мора)

15.2 вывод универсальной формулы определения перемещений формула мора

1. Инфа красным то что я посчитал важным.

2. Инфа синим то что я бы добавил по ситуации.

Рассмотрим балку, находящуюся под действием произвольных нагрузок (рис. 10.7, а). Назовем состояние балки под действием заданных нагрузок грузовым или действительным состоянием. Допустим, требуется определить прогиб балки в некоторой точке С.

Приложим в этойточке по направлению искомого перемещения единичную силу (Р_{ — 1) то есть создадим единичное или вспомогательное состояние (рис. 10.7, б).

Примем следующую последовательность нагружения: вначале действует единичная сила, а затем заданная нагрузка. Определим работу постоянной по величине единичной силы на перемещении по ее направлению от действия заданных нагрузок, то есть на искомом перемещении точки С. На основании теоремы Бетти она равна

Выражая работу Л_]р с помощью (10.8) через внутренние усилия в балке в единичном и грузовом состояниях, получаем формулу для определения искомого перемещения:

Обобщая (10.10), запишем формулу для определения любого линейного или углового перемещения в плоской стержневой системе:

Формула (10.11) называется формулой Мора. В этой формуле N_k, М_к и Q_k — внутренние усилия в стержнях, вызванные действием единичной силы Р_к = 1 или единичного момента М_к = 1, приложенных по направлению искомого перемещения. В первом случае перемещение А_кр является линейным, а во втором — угловым.

Внутренние усилия N_p, М_р и Q_p соответствуют грузовому состоянию системы и возникают в ее стержнях под действием заданных нагрузок.

Таким образом, для определения с помощью формулы Мора перемещений в балке или стержневой системе от действия заданных нагрузок надо по направлению искомого перемещения приложить единичную силу или единичный момент и определить вызываемые их действием внутренние усилия N_k, М_к и Q_k. Затем производится расчет системы на действие заданных нагрузок и определяются внутренние усилия N_p, М_р и Q_p грузового состояния. Выражения для внутренних усилий подставляются в формулу (10.11) и производится интегрирование в пределах длины каждого стержня /. и суммирование результатов интегрирования по всем стержням системы.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Если в результате вычислений величина А_кр оказалась положительной, то направление перемещения совпадает с направлением действия единичной нагрузки, а если отрицательной, то оно противоположно этому направлению.

1. Для систем, стержни которых работают на растяжение или сжатие (например, для ферм), отличен от нуля только один член формулы Мора:

2. При расчете балок и стержневых систем, работающих в основном на изгиб (например, рам), влияние поперечных и продольных сил на перемещения несущественно и в большинстве задач не учитывается. Поэтому в формуле Мора можно с достаточной степенью точности использовать только слагаемое, содержащее изгибающие моменты:

3. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают в основном на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно используются слагаемые, содержащие изгибающие и крутящие моменты.