шпоры мехмат / 12.2 Понятие о дополнительной работе

Вычислим работу некоторой обобщенной силы P, приложенной к любой упругой линейно деформируемой системе (рис.12.4). Предполагается, что нагрузка возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы при этом можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс.

Пусть в данный момент силе P соответствует обобщенное перемещение . Бесконечно малое приращение силы на величину dP вызовет бесконечно малое приращение перемещения . Элементарная (дополнительная) работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми второго порядка, равна:

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой P, вызвавшей обобщенное перемещение ∆, имеет вид:

Интеграл (5) представляет собой площадь диаграммы для данной конструкции (рис.12.4,б).

Рис.12.4

 

В линейно деформируемых системах перемещения пропорциональны величине силы (закон Гука):

где  перемещение, вызванное силой

Дифференцируем выражение (6):

Подставляя полученное выражение в формулу (5), найдем:

Учитывая выражение (6), окончательно получим:

Полученное выражение известно под названием теоремы Клапейрона: действительная работа при статическом действии силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения.

В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил работа деформации равна половине суммы произведения окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего обобщенного перемещения: