шпоры мехмат / 14.1 Опред. полож. главн. площадок и главн. напряж. при раст.(сж) в 2-ух напр. (плоское или двуосное напр. сост

Теория напряженного состояния

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке.

На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 1).

Правило знаков для этих напряжений в сопротивлении материалов принимается следующим: положительные нормальные напряжения направлены от сечения, а положительные касательные напряжения стремятся повернуть элемент по направлению хода часовой стрелки.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, — главными напряжениями.

В любой точке деформируемого тела можно выделить три взаимно перпендикулярные главные площадки, по которым действуют главные напряжения σ₁, σ₂ и σ₃, причем σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃.

Рис. 1

Если два главных напряжения из трех равны нулю, то такое напряженное состояние называется линейным или одноосным. Оно соответствует центральному (осевому) растяжению или сжатию и рассмотрено в предыдущем разделе.

Если одно из трех главных напряжений равно нулю, то такое напряженное состояние называется плоским или двуосным. Пример плоского напряженного состояния показан на рис. 2.

Рис. 2

Одноименные напряжения на параллельных гранях бесконечно малого элемента численно равны друг другу. При плоском напряженном состоянии две противоположные грани всегда свободны от напряжений (на рис. 2 это фасадная и тыльная грани).

По закону парности касательных напряжений касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку, т.е. τ_xy=-τ_yx.

При повороте прямоугольного элемента на угол α напряжения на его гранях изменяются и вычисляются по формулам: По закону парности касательных напряжений τ_α= -τ_β.

Величины σ связаны законом суммы нормальных напряжений т.е. сумма величин нормальных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам, есть величина постоянная.

При некотором угле α₀ касательные напряжения равны нулю, нормальные напряжения по данной площадке в данной точке максимальны (σ_max), а на перпендикулярной площадке – минимальны (σ_min).

Положение главных площадок определяется по формуле Значения главных напряжений вычисляются по выражению Наибольшие касательные напряжения действуют на площадках, наклонных к главным под углом 45⁰ и рассчитываются по формулам: Нормальные напряжения на этих площадках можно найти по формуле