шпоры мехмат / 9.1 Статическ. моменты площ. сечен. и центр тяж-сти плоск. фигур. Определ. полож. центра тяж. сплошн. плоск. фигуры

Статические моменты площади и определение центра тяжести сечений

При расчете элементов конструкций приходится определять центры тяжести главным образом плоских фигур.

Площадь поперечного сечения является простейшей геометрической характеристикой сечения

Центр тяжести поперечного сечения определяется выражениями (8.2), если его площадь А можно разделить на элементарные площади, с известными положениями центров тяжести.

В общем случае, при сложном очертании плоской фигуры, выражения (8.2) могут быть представлены в интегральной форме (рис. 8.1):

Рис. 8.1

Числители выражений (8.5) обозначают

и называют статическими моментами площади сечения относительно координатных осей.

Следовательно, статическим моментом площади сечения называется величина, равная пределу распространенной на всю площадь поперечного сечения стержня суммы произведений из элементарных площадок па координаты их от некоторой оси, лежащей в площади сечения.

Статические моменты измеряют в кубических метрах или сантиметрах (м³ или см³).

На основании (8.3), (8.5) и (8.6) запишем:

Тогда статический момент площади А относительно какой-либо оси равен произведению всей площади на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Анализ полученных формул позволяет сделать следующие выводы.

• 1. Изменение положительного направления оси вызывает изменение знака статического момента.

• 2. Статический момент площади сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести сечения.

• 3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то она всегда проходит через центр тяжести сечения, поэтому статический момент относительно оси симметрии равен нулю.

• 4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей.

Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю (т.е. проходящую через центр тяжести сечения), принято называть центральной (оси у_х и 2, на рис. 8.1).

Итак, выражения (8.3) и (8.5) служат для определения центров тяжестей плоских сечений, (8.7) — для определения статических моментов площади сечения или ее составных частей.