Лекции по ТПС

выражение аналогично теореме Рэлея для детерминированных процессов. Мощность процесса в узкой полосе частот будет равна

Для спектральной плотности средней мощности стационарного случайного процесса при 0 получим

т.е. она равна площади под кривой его корреляционной функции.

Часто используют понятие ширины спектра случайного процесса . Наиболее удобным ее определением является ширина равномерного в полосе частот энергетического спектра процесса, эквивалентного данному по средней мощности, то есть

где 0 - некоторая характерная для этого процесса частота (рис. 10.1).

Рис.10.1

Корреляционная функция и энергетический спектр стационарного случайного процесса как пара преобразований Фурье обладают всеми присущими этому преобразованию свойствами. Например, чем шире спектр случайного процесса, тем уже его корреляционная функция и наоборот. Можно считать, что произведение интервала корреляции на ширину энергетического спектра

81

есть величина постоянная для семейства энергетических спектров заданной формы:

const (10.10)

В частности, для случайных процессов, корреляционные функции которых всегда положительны, получим

КОНТРОЛЬЫНЕ ВОПРОСЫ:

1.Как называется частотная характеристика случайного процесса?

2.Для каких случайных процессов справедлива теорема Хинчина-Винера?

3.Как связана средняя мощность стационарного случайного процесса с функцией автокорреляции?

4.Какими свойствами обладают спектральная плотность мощности и функция автокорреляции случайного стационарного процесса?

5.Чему равно произведение интервала корреляции на ширину спектра случайного процесса?

ЛЕКЦИЯ 11. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией g(t) , рис.11.1. Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотностью вероятности , корреляционной функцией Bx ( ) или энергетическим спектром Gx ( ) . Определим характеристики процесса y(t) на выходе системы: ( y) , By ( ) и Gy ( ) .

82

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реализации процесса на входе являются детерминированными функциями, и к ним применим аппарат Фурье. ПустьiT (t) - усеченная реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

- ее спектральная плотность. Спектральная плотность реализации iT (t) на выходе линейной системы будет равна

siTy ( j ) siTx ( j ) k( j ) (11.2)

Энергетический спектр процесса на выходе будет определиться выражени-

ем

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристики системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

83

Следовательно, при воздействии случайного стационарного процесса на линейную систему на выходе получается также стационарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, мощность которого на выходе системы будет равна

В качестве первого примера рассмотрим прохождение белого шума со спектральной плотностью Gx ( ) 02 через идеальный фильтр нижних частот, для которого

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

В качестве второго примера рассмотрим прохождение белого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-частотная характеристика которого для положительных частот определяется выражением:

В этом случае

84

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-преобразования Фурье:

График корреляционной функции показан на рис. 3.22.

Рис.11.2

Рассмотренные примеры показательны с той точки зрения, что они показывают связь между корреляционными функциями низкочастотного и узкополосного высокочастотного процессов с одинаковой формой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от закона распределения на входе, и определение его является весьма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

85

Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше ширины спектра, то на выходе системы имеет место явление нормализации закона распределения. Это явление заключается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом. Процесс на выходе инерционной системы в некоторый момент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного процесса в различные моменты времени. Чем уже полоса пропускания системы и шире спектр входного процесса, тем большим числом элементарных откликов образует выходной процесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляющего собой сумму большого числа элементарных откликов, будет стремиться к нормальному.

Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Как связаны между собой спектры мощности стационарных случайных процессов на входе и выходе линейной системы?

2.Чему равна средняя мощность стационарного случайного процесса на выходе линейной системы при известной спектральной плотности мощности процесса на ее входе и передаточной функции линейной системы?

3.Какой плотностью распределения вероятностей обладает случайный процесс на выходе узкополосной линейной системы при воздействии на ее входе широкополосного случайного процесса?

4.Какое распределение имеет случайный процесс на выходе линейной системы, если на входе действует нормально распределенный случайный процесс?

5.Чему равен период колебаний функции автокорреляции случайного процесса на выходе идеального полосного фильтра при воздействии на его вход белого шума?

86

ЛЕКЦИЯ 12. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НОРМАЛЬНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

В радиотехнических и других приложениях наиболее часто встречается случайный процесс с нормальным распределением вероятностей, охватывающий широкий класс физических явлений. Нормальными являются, например, внутренние флуктуационные шумы, обусловленные дробовым эффектом и тепловым движением электронов. Нормальное распределение имеет несколько особенностей. Первая состоит в том, что нормальный закон распределения является предельным, то есть к нему стремится распределение суммы произвольно распределенных случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых. Любая линейная операция над нормальным случайным процессом, (усиление, дифференцирование, интегрирование и т.д.) не изменяет его закона распределения. Третья особенность заключается в том, что при прохождении широкополосного случайного процесса с любым распределением через узкополосную избирательную систему процесс на ее выходе имеет тенденцию к нормализации.

Случайный процесс называется нормальным (гауссовым), если его многомерная функция распределения, для совокупности значений k (tk ) определяется выражением

i j

- коэффициент корреляции случайных величин (ti ) и (t j ) . Очевидно, что

Rii 1 Rij R ji

Если нормальный случайный процесс стационарен в широком смысле, т.е.

для указанных (n-1) значений τ.

Таким образом, для стационарного в широком смысле нормального процесса многомерная функция распределения не зависит от сдвига совокупности точек вдоль оси времени на постоянную величину t . Следовательно, для нормального процесса понятие стационарности в широком и строгом смысле совпадают. Нормальный процесс полностью определяется заданием среднего значения а и корреляционной функции B( ) . Заметим, что для эргодичности стационарного нормального процесса достаточна непрерывность его энергетического спектра.

Если значения нормального случайного процесса в различные моменты времени некоррелированы (например, для белого шума), то

88

будет равна произведению одномерных функций. Следовательно, для нормального процесса некоррелированность его значений означает независимость.

Первые две функции распределения нормального случайного процесса записываются в виде

(126.9)

Сумма стационарного случайного нормального процесса (t) и детерминированного s(t) согласно приведенным выше выражениям будет также нор-

мальным, но нестационарным случайным процессом с той же дисперсией 2 и математическим ожиданием, равным

Одномерная интегральная функция распределения для нормального закона определяется выражением

89

называется интегралом вероятности или функцией Лапласа. Значения этой функции приводятся в таблицах (при этом Ф(0) 0,Ф( ) 1). Графики интегральной и дифференциальной функций распределения для нормального закона показаны на рис.12.1.

Рис.12.1

Вероятность того, что значения нормального случайного процесса будут

90