Лекции по ТПС

2.Какой случайный процесс называется стационарным?

3.Какой стационарный случайный процесс называется эргодическим?

4.Какой физический смысл имеет такой параметр случайного процесса как дисперсия?

5.Какой случайный процесс называется марковским?

ЛЕКЦИЯ 9. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ЭРГОДИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА (СИГНАЛА ИЛИ ПОМЕХИ)

Выше была определены числовые характеристики случайных процессов как результат усреднения по множеству или ансамблю возможных реализации. Для такого определения, следовательно, необходимо располагать большим набором реализации рассматриваемого процесса. Получение ансамбля реализаций возможно лишь при наличии множества одинаковых систем, в которых воспроизведены одни и те же условия протекания случайного процесса и способы наблюдения и регистрации. В условиях эксплуатации систем ЖАТС обычно за промежуток времени от 0 до Т наблюдается одна реализация случайного процесса (сигнала или помехи) (рис.9.1).

Рис.9.1

Путем обработки этой реализации можно получить также некоторые характеристики, которые называются временными характеристиками реализации случайного процесса. Если эти характеристики совпадают с характеристиками, полученными усреднением по множеству реализаций случайного процесса, тогда процесс является эргодическим. Поскольку помехи, действующие в цепях и каналах систем железнодорожной автоматики, телемеханики и связи очень часто обладают свойством эргодичности, определение вероятностных характеристик

71

такого случайного процесса удобно проводить по одной, достаточно протяженной во времени реализации.

Для этого выбирается некоторый уровень х и определяется времяt ti , в течение которого реализация случайного процесса находится ниже

i

этого уровня. Величина

ti

будет показывать относительное время пребывания реализации ниже уровня х и будет иметь смысл вероятности пребывания реализации ниже этого уровня. Функция F(x) называется временной интегральной функцией распределения для заданной реализация случайного процесса.

Для отдельной реализация случайного процесса можно определить ее среднее значение по времени или постоянную составляющую

где волнистая черта сверху означает условную запись усреднения во време-

ни.

Разность

называется переменной составляющей реализации случайного процесса.

Аналогично можно определить средние значения по времени квадрата реализации и квадрата переменной составляющей реализации случайного процесса

72

соответственно.

~~~~~

Если i (t) представляет собой ток или напряжение, то величины i2 (t)

~~~~~~

иi0 (t) имеют соответственно физический смысл полной мощности реализации

имощности ее переменное составляющей, выделяемых на сопротивлении в 1 Ом. Раскрывая скобки под интегралом в (9.5), получим соотношение

которое определяет мощность переменной составляющей реализация как разность между полной мощностью и мощностью её постоянной составляющей.

Для отдельной реализации случайного процесса вводят понятие временной автокорреляционной или просто корреляционной функции

которая определяет степень линейной зависимости между значениями реализации случайного процесса в моменты времени t и t . Действительно, величина последнего интеграла будет больше в тех случаях, когда с увеличением (уменьшением) значений i (t) будут также увеличиваться (уменьшаться) значения i (t ), так что подынтегральное выражение будет почти всегда положительно. Нетрудно видеть, что автокорреляционная функция имеет максимум при0 , равный средней мощности реализации случайного процесса Р.

Аналогично можно ввести понятие взаимной временной корреляционной функции реализации двух случайных процессов

которая будет характеризовать линейную статистическую зависимость между значениями двух реализации различных случайных процессов.

Как уже отмечалось выше, корреляционная функция случайного про-

цесса

73

определяет степень линейной зависимости между значениями реализации в два различных момента времени t и t , выраженную в единицах мощности. Очевидно, что с увеличением эта зависимость должна ослабевать. В пределе, при , значения реализации становятся независимыми. Если постоянная составляющая для процесса равна нулю, то, очевидно, B( ) 0 . В общем случае, когда случайный процесс содержит постоянную составляющую, т.е.

корреляционная функция будет равна

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

B( ) lim i0 (t) a i0 (t ) a a2 (9.12)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

так как i0 0; lim i0 (t) i0 (t ) 0

Таким образом, значение корреляционной функция при стремится к мощности постоянной составляющей случайного процесса.

Из определения (9.10) с учетом (9.4) следует, что

т. е. корреляционная функция при 0 равна средней мощности случайного процесса.

С учетом (9.12) и (9.13) дисперсия случайного процесса как мощность его переменной составляющей будет равна

Если для случайного процесса среднее значение равно нулю, то 2 B(0) .

Так как для стационарных процессов функции распределения не зависят от начала отсчета времени, то для них корреляционная функция будет являться четной функцией, т. е.

И, наконец, последнее свойство корреляционной функции состоит в том, что она всегда максимальна при 0 , т. е.

B(0) B( ). (9.16)

Это вытекает из следующего равенства:

74

Таким образом, корреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме корреляционных функций суммируемых процессов плюс сумма всех взаимных корреляционных функций, которые могут быть получены из любой пары суммируемых процессов.

Для независимых случайных процессов с нулевыми средними значениями согласно (9.19) взаимные корреляционные функции равны нулю, и

Заметим теперь, что из определения корреляционной функции (9.10) вытекает способ ее экспериментального определения с помощью коррелометра (рис. 9.5). Одна и та же реализация исследуемого процесса подается одновременно на перемножитель и линию задержки с отводами. На вторые входы перемножителей подается та же реализация, но задержанная на различное время k .

Произведения i (t) i (t k ) далее интегрируются, а результаты интегрирования измеряются вольтметрами. Показания вольтметров определяют значения функции автокорреляции в дискретных точках k .

Рис.9.5

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Что характеризует функция автокорреляции, какова ее размерность?

2.Какими свойствами обладает функция автокорреляции, что характеризует при τ=0?

3.Какие значения может принимать нормированный коэффициент корреля-

ции?

4.Что понимается под интервалом корреляции?

77

5. Как называются приборы для измерения значений функции корреляции?

ЛЕКЦИЯ 10. ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

При изучении детерминированных процессов очень широко используется аппарат гармонического анализа: ряды и интеграл Фурье для периодических и непериодических сигналов соответственно. Этот аппарат сравнительно прост и весьма эффективен. Очевидно, подобный аппарат весьма полезен был бы при изучении случайных процессов. Однако, именно случайность не позволяет использовать классический аппарат гармонического анализа к таким процессам непосредственно. Это объясняется следующим. Каждая из реализации случайного процесса, как отмечалось выше, является детерминированной функцией, для которой с помощью аппарата Фурье можно найти спектральную плотность. Однако, как в теории, так и на практике очень часто интерес представляет не изучение отдельных реализаций, а их ансамблей, т.е. случайных процессов в целом. Поскольку для отдельных реализаций спектральные плотности различны, то для процессов в целом определенная таким образом спектральная плотность будет величиной случайной. Можно было бы попытаться определить спектральную плотность как среднее значение спектральных плотностей всех реализаций случайного процесса. Однако такое усреднение было бы неудачным. Действительно, среди реализаций случайного процесса наверняка будут такие пары реализации, для которых спектральные плотности будут равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Если такие реализации имеют равную вероятность, то среднее значение спектральной плотности для них будет равно нулю. Следовательно, определенная таким образом средняя спектральная плотность не будет описывать свойства случайного процесса. Более того, случайный процесс может иметь такие реализации, которые не будут удовлетворять условию абсолютной интегрируемости

i (t) dt M ,

0

являющимся необходимым для существования преобразования Фурье.

Тем не менее, спектральные представления можно использовать и для случайных процессов, если вместо спектральной плотности амплитуд ввести понятие спектральной плотности мощности процесса. Определим ее.

78

Пусть имеется реализация i (t) стационарного случайного процесса, аiT (t) - усеченная реализация, совпадающая с i (t) в интервале 0 t T и равная нулю вне этого интервала. Для усеченной реализации случайного процесса как детерминированной функции можно определить спектральную плотность преобразованием Фурье:

Функция SiT ( j ) является случайной функцией и зависит от интервала времени Т и номера реализации. Если i (t) – напряжение или ток на нагрузке в 1 Ом, то функция

будет определять энергию процесса в полосе частот f T1 . Эта функция

также случайна. Для получения неслучайной функции последнее выражение необходимо усреднить по всем возможным реализациям и, кроме того, перейти к пределу при T . Неслучайная функция

имеющая размерность мощности на единицу полосы частот, называется спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром стационарного случайного процесса. Энергетический спектр можно определить даже тогда, когда реализации случайного процесса абсолютно неинтегрируемы и обычное преобразование Фурье для которых не существует. Введение энергетического спектра вместо спектральной плотности амплитуд и является обобщением гармонического анализа на случайные процессы.

Более строго энергетический спектр стационарного случайного процесса определяется теоремой Xинчина-Винера, согласно которой энергетический спектр и корреляционная функция являются парой преобразований Фурье:

79

Следовательно, энергетический спектр стационарного случайного процесса является обычным амплитудным, спектром корреляционной функции. Поскольку последняя не учитывает фазовых соотношений между гармоническими составляющими процесса, то не учитывает их и энергетический спектр. Он дает только усредненную картину распределения средней мощности процесса по частотам элементарных гармонических составляющих.

Заметим теперь, что G( ) , как и B( ) , - четная функция частоты и, кроме того, неотрицательна. Это означает, что в приведенных выше выражениях понятие спектральной плотности средней мощности процесса распространяется на все действительные частоты от до . Физический смысл имеют только положительные частоты. Следовательно, каждая реальная спектральная компонента с интенсивностью G ( ) 2G( ) разбивается на две равные по интен-

сивности компоненты 12 G ( ) и 12 G ( ), так что общий энергетический

спектр G( ) , распространенный на отрицательные частоты, становится четной функцией частоты.

Приведенные выражения для энергетического спектра и корреляционной функции справедливы только для абсолютно интегрируемых функций G( ) и B( ) , т.е. удовлетворяющих условиям

Эти условия ограничивают применимость теоремы Хинчина-Винера только для стационарных случайных процессов с нулевыми средними значениями и без квазидетерминированных составляющих.

Из (10.5) при 0 получим

Следовательно, средняя мощность стационарного случайного процесса равна площади под кривой его энергетического спектра, определенной на 2π. Это

80