Лекции по ТПС

Этот же результат можно получить используя соотношение (4.26), согласно которому спектральная плотность s(ω) одиночного импульса длительно-

стью τ точностью до постоянного множителя 2 совпадает с огибающей спектра

T

амплитуд периодической последовательности таких же импульсов с периодом следования Т. График модуля спектра (5.30) для положительных частот показан на рис.5.5.

На основании (4.11) и (4.12) периодическая последовательность прямоугольных импульсов разлагается в ряд Фурье следующим образом

Отметим теперь следующее обстоятельство. Если при неизменной длительности импульса увеличивается период Т последовательности, то расстояние

ной длительности периода Т и изменении длительности импульса будет меняться расстояние между нулями огибающей спектра.

Величина Q, равная отношению длительности периода к длительности импульсов, называется скважностью периодической импульсной последовательности.

6 Одиночный радиоимпульс. Радиоимпульсом называется импульс, временная функция которого записывается в виде

41

– спектральные плотности огибающей импульса a(t), смещенные по оси частот на постоянную величину 0 .

Таким образом, спектральная плотность радиоимпульса полностью определится спектральной плотностью его огибающий. Можно показать, что приT0 и 0 для большинства радиоимпульсов выполняется условие

Sa [ j( 0 )] Sa [ j( 0 )] (5.36)

Поэтому с достаточной точностью спектральную плотность одинокого радиоимпульса можно определять по формуле

Спектральная плотность напряжения радиоимпульса равна

42

откуда для модуля и фазы спектральной плотности находим

График модуля спектральной плотности показан на рис. 5.6.

Рис. 5.6

Как и следовало ожидать, отрезок гармонического колебания имеет сплошной спектр. При неограниченном увеличении длительности импульса τ получим гармоническое колебание в точном смысле определения периодическое функции. Сплошной спектр колебания при этом вырождается в одну спектральную линию на частоте 0 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

43

1.Каким спектром обладают непериодические сигналы в отличие от периодических?

2.Какой физический смысл имеет выражение (5.4), представляющее собой прямое преобразование Фурье?

3.В чем заключается физический смысл теоремы Релея?

4.Какими свойствами обладает преобразования Фурье?

5.Какой зависимостью связаны между собой длительность сигнала и ширина его спектра?

ЛЕКЦИЯ 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ, ТЕЛЕМЕХАНИКИ И СВЯЗИ (ЖАТС)

КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ ЖАТС

В радиотехнике, связи и автоматике, в том числе железнодорожной, большинство задач сводится к изучению результатов воздействия различных процессов на устройства и системы ЖАТС. Процессы в этих устройствах представляют собой комбинации полезных сигналов и искажающих эти сигналы помех. Каждая из составляющих этих процессов может быть как детерминированной, так и случайной функцией времени.

Большинство устройств ЖАТС представляет собой сочетание линейных и нелинейных цепей, каждая из которых в общем случае является инерционной, т.е. содержащей элемент, способный накапливать электрическую или магнитную энергию. Однако решение задач при наличии нелинейных инерционных элементов сильно усложняется при строгом рассмотрении протекающих процессов. Поэтому широко используются приближенные методы анализа воздействия сигналов на реальные устройства.

44

Одним из способов упрощения решения указанных задач состоит в том, что элементы устройств ЖАТС разделяют на две группы: нелинейные безынерционные и линейные инерционные. В большинстве случаев такое разделение оправдано. Например, детектор с нагрузкой в виде избирательной цепи можно приближенно рассматривать как последовательное соединение нелинейного безынерционного элемента (выпрямителя) и линейной инерционной цепи (нагрузка). Суммарный эффект в этом случае будет достигаться за счет нелинейного безынерционного и линейного инерционного преобразования.

Следует отметить, что в некоторых случаях подобное разделение может привести не только к количественным погрешностям, но и качественно неверному представлению исследуемых процессов. Погрешности от подобной идеализации необходимо оценивать в каждой конкретной задаче.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Характеристика безынерционного нелинейного элемента задается в виде однозначного нелинейного преобразования

где x(t) – сигнал на входе, а y(t) - на выходе элемента. Существенной особенностью безынерционного элемента является то, что значение y(t) в данный момент времени t определяется только значением входного процесса в тот же самый момент времени. Нелинейная характеристика y f (x) может быть аппроксимирована любым способом. Характеристиками такого рода обладает большая группа радиотехнических элементов (цепей), таких как ограничители, выпрямители, ключи, смесители, преобразователи частоты, модуляторы, детекторы и т.д.

В инерционной цепи значения процесса y(t) на ее выходе зависят не только от значения процесса x(t) на входе в тот же момент времени, но и от его значений в предшествующие моменты времени. Выходной процесс в этом случае является суперпозицией (сложением) всех значений x( ) , взятых с некоторым весовым коэффициентом g(t, )

45

где t – момент наблюдения процесса на выходе, а τ – момент воздействия процесса на входе.

Функция g(t, ) здесь представляет собой отклик системы на единичный импульс (дельта-функцию) и называется импульсной функцией или импульсной реакцией цепи.

Для физически осуществимых линейных систем отклик системы не может опережать входное воздействие, то есть g(t, ) 0 при t<τ. Поэтому для них можно записать

Важнейшей группой линейных систем являются системы с постоянными, т.е. неизменными во времени, параметрами. Для таких систем импульсная функция зависит не от времени, а только от разности t моментов наблюдения процесса на выходе и приложения воздействия на входе, т.е.

В соответствии с этим, для линейных систем с постоянными параметрами выражения (6.2) - (6.4) можно записать так:

Вместо импульсной переходной функции линейную инерционную систему очень часто характеризуют передаточной функцией или коэффициентом передачи, который определяется отношением комплексных амплитуд гармонических выходного и входного процессов:

uвх

46

где РАЗДЕЛ называется амплитудно-частотной, а аргумент – фазо-частотной характеристиками системы. Для систем с переменными параметрами передаточная функция k( j ,t) зависит от времени.

Если на входе линейной инерционное системы действует сигнал s(t) со спектральной, плотностью sx ( j ) , то спектральная плотность выходного сигнала y(t) будет определяться выражением

sy ( j ) k( j )sx ( j ) (6.8)

Выходной сигнал может быть определен с помощью обратного преобразования Фурье от sy ( j ) :

Отметим теперь, что передаточная и импульсная переходная функция связаны между собой парой преобразование Фурье

Действительно, если на вход системы с коэффициентом передачи воздействует единичный импульс, спектральная плотность которого равна единице для всех частот от нуля до бесконечности, то спектральная плотность выходного сигнала будет равна k( j ) , откуда с учетом (2.6.9) следует последнее равенство.

ИСКАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ И ИХ КОРРЕКЦИЯ

Определим сначала условия неискаженной передачи сигналов. Будем считать сигнал на выходе системы неискаженным, если он отличается от входного только масштабом и сдвигом во времени на величину t0 , т.е.

47

Из этого условия видно, что система, не искажающая сигнал, должна быть линейной (рис.6.1).

Сравнивая (6.15) и (6.13), для передаточной функции неискажающей линейной системы получим

k( ) a const

(6.17)

( ) t0

Таким образом, передаточная функция хотя бы в полосе частот входного сигнала должна быть идеальной: амплитудно-частотная характеристика должна быть постоянной, а фазо-частотная – линейной. Отсутствие искажений в этом случае иллюстрируется на рис.6.2 для сигнала, состоящего из двух гармонических колебаний кратных частот при 1t0 и 2t0 2 .

48

Рис.6.2

В том случае, если характеристики системы не будут удовлетворять приведенным условиям, сигнал при прохождении через нее будет искажаться. Искажения сигнала принято делить на нелинейные и линейные.

Нелинейные искажения в системах передачи информации обусловлены наличием нелинейных элементов там, где они принципиально не требуются. Величина искажений однозначно определяется величиной отклонения амплитудной характеристики

от линейной. Нелинейные искажения проявляются в искажении формы сигнала и появлении на выходе новых частотных составляющих, которых не было во входном сигнале. Особенно опасны нелинейные искажения, когда входной сигнал представляет собой сумму нескольких сигналов (многоканальная связь). В этом случае продукты нелинейности образуют так называемые перекрестные искажения между каналами. Существует несколько способов оценки нелинейных искажений, рассматриваемых в специальных курсах. Здесь же заметим, что функция f (x) может быть вычислена или получена экспериментально. Поэтому нелинейные искажения можно устранить, если последовательно с нелинейным элементом включить корректирующий четырехполюсник с нелинейной характеристикой

где f ( x) – функция, обратная функции f (x)

49

Необходимым условием коррекции нелинейных искажений является однозначность функции f (x) и наличие у нее везде конечной производной. Смысл этого условия легко уяснить на примере, когда нелинейная характеристика является ступенчатой функцией (рис.6.3). Ясно, что в этом случае восстановить исходный сигнал по квантованному нельзя, хотя характер произведенного преобразования известен точно.

Рис.6.3

Линейные искажения сигналов, называемые также частотными или временными, характерны для инерционных систем, содержащих реактивные элементы, и обусловлены отличием амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик от идеальных (6.17). Они проявляются в различном изменении амплитуд и фаз гармонических составляющих входного сигнала.

Для коррекции линейных искажений используются амплитудные и фазовые корректоры, включаемые последовательно с корректируемым элементом

(рис.6.4).

Рис. 6.4

50