Лекции по ТПС

Благодаря удвоению числа составляющих при использовании показательной формы записи ряда Фурье амплитуды их в 2 раза уменьшаются. Использование такой записи в значительной степени упрощает математические выкладки при исследовании прохождения сигналов через различные линейные системы.

Вычислим теперь среднюю за период мощность сигнала

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени. Подставляя

(2.1.2) в (2.1.15) и учитывая, что

cos2 x 12 12 cos2x, sin 2 x 12 12 cos2x,

аинтегрирование за период исходной функции Т гармонических колебаний

судвоенной частотой и произведений косинусов и синусов с аргументами неодинаковой кратности дает нуль, вместо (4.15) получим

Это выражение носит название равенства Парсеваля, которое показывает, что средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей его частотных составляющих и не зависит от фазовых соотношений между отдельными составляющими.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Какой сигнал обладает дискретным спектром?

2.Каким спектром напряжения обладает любой периодический сигнал?

3.Какие две частотные характеристики образуют спектр напряжения периодического сигнала?

31

4.От чего зависит частота первой (основной) гармоники периодического сигнала?

5.Что характеризует равенство Парсеваля?

ЛЕКЦИЯ 5. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Разложение в ряд Фурье может быть обобщено и на случай непериодического сигнала. Действительно, пусть имеется периодический сигнал с периодом Т и определенными амплитудным и фазовым спектром (рис.5.1).

Рис. 5.1

Если функция остается неизменной на интервале 0 0 , то непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции с неограниченно возрастающим периодом. При увеличении Т частота

первой гармоники 2 уменьшается и спектральные линии на рис.5.1 б

T

располагаются чаще. В пределе, при T , интервал между линиями в спектре сокращается до нуля, т.е. спектр вместо дискретного становится сплошным, непрерывным. Амплитуды гармоник ck , согласно (4.13), становятся бесконечно малыми. Математически это можно выразить следующим образом. Введем вместо (4.13) функцию

При T частота k может принимать любое значение ω,

32

Функция s( ) s( ) называется модулем спектральное плотности или спектральной плотностью амплитуд, а ( ) – спектральной плотностью фаз.

Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (4.13) и (5.7), замечаем, что при k они отличаются только постоянным множителем, а

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определять по спектральной характеристике непериодической функции такого же вида, заданной в интервале 0 - Т. Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

ck T2 s(k ) s(k ) (5.10)

Это соотношение формулируется следующим образом: огибающая сплошного амплитудного спектра непериодической функции и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом (рис. 5.1)

Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части равенства (5.4) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим

где s(jω) и s(-jω) - комплексно-сопряженные величины. Так как

s( j ) s( j ) s( j ) 2 s2 ( ),

то

34

Это выражение называется теоремой Рэлея или равенством Парсеваля для непериодического сигнала и аналогично (4.16), однако в отличие от последнего

s(t 0 ) , полученного при сдвиге сигнала s(t) по оси времени на 0 , определяется выражением

s(t) cos 0t js(t)sin 0t,

4.Теорема о спектрах производной и интеграла. Спектры производной и интеграла от функции s(t) определяются соответственно выражениями

s(1) ( j ) j s( j ),

35

Спектр свертки двух функций равен произведению спектров свертываемых функций:

s( j ) s1 ( j ) s2 ( j ). (5.17)

В частном случае, когда s1 ( j ) s2 ( j ). , то

s( j ) s12 ( j ) s12 ( ). (5.18)

Используя последнее выражение, легко получить ранее введенное равенство Парсеваля.

ПРИМЕРЫ СПЕКТРОВ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования преобразования Фурье для анализа импульсных сигналов.

1 Одиночный прямоугольный импульс. Пусть имеется прямоугольный импульс длительностью 0 и амплитудой h (рис.5.2).

Рис. 5.2

Для такого импульса прямым преобразованием Фурье находим

36

где q h 0 – площадь импульса. График этого спектра для положительных частот показан на рис. 5.2. Спектральная плотность обращается в нуль при

0 n , а при ω=0, s(ω)=q.

2

Замечаем, что при уменьшении длительности импульса функция s(ω) растягивается, т. е. ширина спектра увеличивается. При увеличении 0 ширина спектра уменьшается.

Если ограничить спектр прямоугольного импульса первым нулем спек-

тральной плотности, т.е. круговой частотой 0 2 , то для произведения дли-

0

тельности импульса 0 t на ширину спектра f 0 получим

2

f t 0 1 2

Это равенство является частным случаем более общего равенства справедливого для всех импульсных сигналов:

согласно которому произведение ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная, близкая к единице. Существует несколько определений длительности импульса и ширины спектра. Согласно одному из них под длительностью импульса (шириной спектра) понимается промежуток времени (полоса частот), в котором сосредоточено 90% энергии импульса.

2 Колокольный (гауссов) импульс. Колокольным называется импульс, который описывается функцией

Для спектральной плотности такого импульса с использованием преобразования Фурье получим

Графики колокольного импульса и модуля его спектра показаны на рис. 5.3. 37

Рис.5.3

Первой особенностью такого импульса является то, что спектральная плотность его совпадает по форме с временной функцией, т.е. является также гауссовой кривой. Другой особенностью такого импульса является то, что из всех возможных форм импульсов он имеет наименьшее произведение длительности на ширину спектра f t 0,22.

3 Единичный импульс. Единичным импульсом или дельта-функцией(t) называется функция бесконечно малой длительности с конечной площадью, равной единице:

(t)dt 1.

Такую функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса

Этот же результат можно получить и обычным способом:

множитель обращается в единицу. Здесь использовалось так называемое фильтрующее свойство δ-функции, согласно которому

38

Таким образом, спектр единичного импульса является сплошным и равномерным с единичной спектральной плотностью вплоть до бесконечно больших значений частоты.

Единичный импульс является математической абстракцией. Физически можно реализовать только короткий импульс, т.е. импульс очень малой длительности τ, с площадью, равной q. Спектр такого импульса определятся выражением

Следовательно, короткий импульс любой формы имеет равномерный спектр вплоть до частот порядка 1 (пока выполняется условие 1). Далее спектральная плотность начинает убывать.

4 Единичная функция. Единичная функция, единичный скачок или функция включения, рис.5.4 записывается в виде

Рис. 5.4

Заметим, что рассмотренный ранее единичный импульс можно рассматривать как производную единичной функции:

(t) d (t) , dt

а единичную функцию можно выразить интегральным соотношением

39

Используя теорему о спектре интеграла, получим

РАЗДЕЛ спектра этой функции есть s( ) 1 . Зависимость его от частоты показана на рис.5.4 б.

Единичная функция широко используется в качестве испытательного сигнала при исследовании переходных процессов в электрических цепях. Напомним, что отклик цепи h(t) на единичную функцию называется переходной характеристикой.

5 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов.

Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с длительностью τ и периодом Т (Рис.5.5). Используя (4.13) для такой последовательности получим

Рис.5.5

40