Лекции по ТПС

Таким образом, основные требования, предъявляемые к системам передачи информации, заключаются в повышении пропускной способности и помехоустойчивости. Эти требования противоречивы, так как можно повысить пропускную способность в ущерб помехоустойчивости и наоборот.

Проектирование системы передачи информации, обеспечивающей наибольшие пропускную способность и помехоустойчивость, требует учета многих факторов. В общей постановке задача состоит в выборе такого алгоритма (правила) работы системы

y W V [F(m, f ), ] ,

21

чтобы при максимальной пропускной способности получить выходное сообщение, минимально отличающееся от переданного с точки зрения некоторого критерия. Синтез такой оптимальной системы требует совместного выбора системы сигналов (операций кодирования и способа модуляции) и способов приема (демодуляции и декодирования).

Для получения практических результатов данную задачу приходится расчленять и синтезировать систему по частям при некоторых фиксированных параметрах. Например, при заданном произвольно способе приема можно выбрать оптимальную систему сигналов, т.е. способы кодирования и модуляции. При выбранной системе сигналов задача сводится к построению оптимального приемника. Искомым является оператор W.

При раздельном выборе операторов F и W руководствуются следующими принципами. Во-первых, приемник должен наилучшим образом подавлять помехи, т.е. обеспечивать максимальную помехоустойчивость. Система сигналов должна выбираться такой, чтобы сигналы, отображающие различные сообщения, как можно более отличались друг от друга, чтобы помехи как можно менее влияли на их различие. Таким способом можно выбрать наилучшие коды, наиболее помехоустойчивые виды модуляции, построить оптимальный приемник, т.е. получить оптимальные решения для отдельных звеньев системы связи. Такой способ позволяет синтезировать если не наилучшие теоретически, то, по крайней мере, хорошие и работоспособные системы передачи информации.

Именно в таком направлении и развивалась общая или статистическая теория сигналов. В 1941 г. советский математик А.Н. Колмогоров разработал математические основы теории оптимальных по критерию минимума среднеквадратичной ошибки линейных цепей (фильтров), развитой в дальнейшем Н. Винером. В 1947 г. В.А. Котельников заложил основы теории помехоустойчивости в своей выдающейся работе ''Теория потенциальной помехоустойчивости''. В этой работе впервые была поставлена и решена задача построения идеального приемника, который обеспечивает потенциальную, т.е. максимально возможную помехоустойчивость. В 1948 г. американский ученый К. Шеннон создал статистическую теорию связи. Он доказал возможность такого кодирования, которое позволяет получить максимально возможную скорость передачи сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибочного приема всего сообщения.

Эти работы и положили начало новой науки – общей теории сигналов и теории информации. Теория информации возникла благодаря проникновению в теорию и технику передачи сигналов различных математических моделей и методов, позволяющих адекватно представлять процессы преобразования, хране-

22

ния и передачи информации. В теории сигналов широко используются достижения теории вероятностей и теории случайных процессов, являющихся главным математическим инструментом при анализе прохождения сигналов и помех через системы передачи информации и их элементы. Методы математической статистики, особенно теории статистических решений и теории оценок, являются основными при синтезе и сравнении систем передачи, удовлетворяющих определенным критериям качества.

Наряду со сложными моделями сигналов многие реализации сигналов можно описать детерминированными (регулярными) функциями времени, что позволяет использовать в теории сигналов эффективные классические методы, как например, метод гармонического анализа (ряды и преобразование Фурье), преобразование Лапласа и другие.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Какие задачи теории сигналов возникают при разработке систем передачи информации?

2.Что является критерием качества систем передачи дискретных сообще-

ний?

3.Что является критерием качества систем передачи непрерывных сообще-

ний?

4.Что понимается под помехоустойчивостью системы передачи дискретных сообщений?

5.Кто является основоположниками теории передачи сигналов и теории информации?

ЛЕКЦИЯ 3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ, ИХ ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

Детерминированным называется сигнал, который можно задать аналитически (формулой) и значения которого в любой момент времени можно определить с вероятностью, равной единице, например:

S(t)=Um Sin( 0t + 0),

где амплитуда Um, частота 0, фаза 0 заданные величины.

23

Случайный (стохастический) сигнал изменяется во времени случайным образом, т. е. представляет собой случайный процесс. Квазидетерминированный (по сути случайный) процесс представляется реализациями, которые описываются функциями времени определенного вида, содержащими несколько случайных параметров, например S(t)= Um Sin [ 0t + (t)], когда известны Um и 0, а (t) представляет случайную изменяющуюся во времени фазу. Такие сигналы описывают большое число сигналов - "переносчиков", у которых один из параметров (в данном случае фаза) изменяется по закону сообщения (модулируется сообщением).

Периодический сигнал - сигнал, любое значение которого повторяется через период Т, т.е. S(t)=S(t+T), < t < (последнее приводит к тому, что, строго говоря, ни один реальный сигнал не может быть периодическим). Непериодическим называется детерминированный сигнал, не удовлетворяющий этому условию.

Энергия и мощность детерминированного сигнала

Это важные параметры сигнала, поскольку, как правило, требуется, чтобы информация передавалась с заданным качеством при минимальных затратах и энергии.

Если детерминированный сигнал S(t) представляет собой изменение напряжения или тока, то его мгновенная мощность, выделяемая на сопротивление в 1 Ом равна

P(t)=S2(t).

Если на интервале T = tb-ta заданы два детерминированных сигнала S1(t) и S2(t), то энергия их суммы определяется следующим образом:

E12= tb S1(t)S 2(t)dt ,

ta

где Е12 - взаимная энергия сигналов (энергия их взаимодействия).

Сигналы S1(t) и S2(t)- называют ортогональными если: Е12=0, в этом случае

E =Е1+Е2.

Корреляционные характеристики детерминированных сигналов

Часто возникает необходимость определения степени сходства различных сигналов (например, сигнала и его оценки).

Взаимная корреляционная функция – мера, например, в единицах мощности степени сходства сигналов S1(t) и S2(t).

где - временной сдвиг сигналов относительно друг друга.

Взаимная корреляционная функция может принимать положительные значения (когда с ростом одного сигнала другой увеличивается), отрицательные (когда, с уменьшением одного сигнала другой увеличивается) и нулевое значение. По мере изменения характер корреляции может меняться.

Автокорреляционная (корреляционная) функция характеризует связь между сигналом и смещенной на интервал его копией:

По мере увеличения корреляционные связи у всех сигналов (кроме периодических) ослабевают и в пределе при , RS ( ) стремится к нулю.

Корреляционная функция - функция четная. При =0 она достигает своего максимального значения, равного средней мощности сигнала:

25

По приведенным формулам вычисляют корреляционные функции сигналов с бесконечно большой энергией и ограниченной мощностью (например, периодических сигналов). В случае, когда энергия сигнала ограничена, корреляционная функция определяется по формуле

RS( )= S(t)S(t )dt .

В этом случае максимальное значение RS(0) равно энергии сигнала. По этой формуле вычисляется корреляционная функция детерминированного сигнала конечной длительности.

При определении корреляционной функции периодических сигналов усреднение выполняется на интервале равном периоду. Например, для сигнала

S(t)=Umcos( 0 t+ 0)

корреляционная функция определяется в виде

=0,5 U 2m Cos 0 .

С корреляционными функциями тесно связаны спектральные характеристи-

ки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Какой сигнал называется детерминированным?

2.Какой сигнал называется случайным?

3.Какими интегральными параметрами характеризуется любой детерминированный сигнал?

4.Что понимается под термином функция автокорреляции, в чем ее физический смысл?

26

5. Чем функция взаимной корреляции отличается от функции автокорреляции?

ЛЕКЦИЯ 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Сигналы управления и связи по своей природе являются случайными процессами. Однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, испытательные) сигналы можно считать детерминированными функциями. Последние принято делить на периодические, почти периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов в реальных условиях не существует.

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

на интервале t , где Т – постоянная величина, называемая периодом, а к - любое целое число.

Непериодическим называется сигнал, который не удовлетворяет условию (2.1.1.) на всей оси времени. Он задается на конечном t1 t t2 или полубесконечном t1 t интервале времени, а за пределами этого интервала принимается тождественно равным нулю. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из характеристик непериодического сигнала является его длительность, под которой понимают либо длительность, соответствующую всему сообщению или отрезку сообщения, либо длительность отдельного элемента (например, элемента кодовой комбинации).

Почти периодическим сигналом называется такой, для которого период можно указать лишь приближенно. Такими сигналами являются, например, сигналы, которые могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих с произвольными (не кратными) частотами.

В теории сигналов широко используется спектральное представление сигналов. Спектральным представлением детерминированного сигнала s(t) называется его представление в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических составляющих. Основой спектрального представления сигналов яв-

27

ляется преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление модулирующих или видеосигналов.

Как известно из математики, любую периодическую функцию с периодом Т, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье

определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота F T1 называется основной частотой сигнала, а кратные ей частоты Fk kF – высшими гармониками.

Выражение (2.1.2) можно переписать следующим образом

Обратные зависимости для коэффициентов ak ,bk имеют вид

28

При форме записи (4.5) коэффициент ck выражает амплитуду, а k - фазу к-ой гармоники. Совокупность коэффициентов ck носит название спектра амплитуд, а совокупность значений k - спектра фаз.

На рис.4.1 приведен график спектра амплитуд периодического сигнала. Аналогичный вид имеет и спектр фаз. Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих частотам 0, ,2 ....

Рис.4.1

Если функция s(t), описывающая сигнал, четная, т.е. s(t) s( t), то согласно (4.3) все bk 0 , и соответствующий ей ряд Фурье будет содержать только косинусоидальные члены. Если функция s(t) - нечетная, т.е. s(t) s( t),, то в ряде Фурье будут только синусоидальные члены. С использованием выраже-

ния cos x 12 (e jx e jx )

вместо (2.1.5) можно записать

Поэтому вторую сумму в (4.8) можно представить в следующем виде:

29

Сравнивая (4.5) и (4.13), замечаем, что при использовании комплексной записи ряда Фурье отрицательные значения К позволяют говорить о составляющих с ''отрицательными'' частотами. Однако появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала. В самом деле, гармонической составляющей с ''физической'' частотой k k в выражении (4.11) соответствует следующая пара слагаемых

12 ck e j(k t k ) 12 c k e j( k k t )

Эта пара слагаемых, вследствие четности модуля ck ck и нечетности фа-

зы k , дает в сумме вещественную гармоническую функцию с положительной частотой:

30