Лекции по ТПС

Рис.31.4. Обобщенная структурная схема полосного вокодера

Решающую роль в разборчивости синтезированного речевого сигнала играет информация о резонансных свойствах речевого тракта. Так, возбуждая фильтр синтезатора только шумом либо только периодической последовательностью импульсов, можно получить вполне разборчивую речь. Отличие лишь в том, что в первом случае мы услышим шепот, во втором - «голос робота».

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Как называются фильтры с конечной импульсной характеристикой?

2.В чем заключается отличие операции корреляции от операции свертки?

3.Какие основные операции выполняются в ЦОС?

4.Какие дискретные преобразования используются для выполняется опера-

ции вычисления спектра, в чем преимущества алгоритма БПФ?

5. Привести примеры применения ЦОС?

ЛЕКЦИЯ 32. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ (НЦФ)

Основные определения. Различают два класса цифровых фильтров: нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) и рекурсивные цифровые фильтры (РЦФ).

Вначале рассмотрим нерекурсивные фильтры, которые также называют трансверсальными (от английского transversal - поперечный), а также КИХфильтрами (фильтрами с конечной импульсной характеристикой).

Достоинства нерекурсивных фильтров:

–простота теоретического анализа – существует несколько хорошо известных и апробированных методик расчета фильтров;

–наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной переходной характеристики;

261

–простота практической реализации;

–устойчивость фильтра;

–линейность фазовой характеристики (при условии симметричности фильтра), позволяющая уменьшить искажения фронтов импульсных сигналов – поэтому такие фильтры широко применяются в телекоммуникационных системах.

Недостатки нерекурсивных фильтров:

–необходим высокий (несколько сотен или даже тысяч) порядок фильтров для обеспечения «хорошей» АЧХ.

Нерекурсивные фильтры широко применяются при обработке изображений, поскольку:

–описываются матрицей коэффициентов;

–двумерные фильтры являются естественным обобщением одномерных фильтров.

Отличительной особенностью НЦФ является зависимость отсчетов выход-

ного сигнала y(n) только от отсчетов входного сигнала в настоящий момент времени x(n) и предыдущие моменты x(n-k). Алгоритм (уравнение) НЦФ порядка N записывают в виде

k =0

Структурная схема, реализующая этот алгоритм, приведена на следующем рис 32.1:

- x n N aN

-

Рис.32.1

262

частотная характеристика такого фильтра будет вещественной и четной функцией частоты, что удобно с точки зрения быстрого анализа формы частотной характеристики.

Сказанное выше можно пояснить простым примером. Например, при N=2 в соответствии с (32.2) можно записать

y(n) = a -2 x(n + 2) + a -1x(n + 1) + a 0 x(n) + a1x(n - 1) + a 2 x(n - 2)

где

x(n) - входной сигнал (отсчет сигнала) в момент времени nTд ; y(n) - соответствующий выходной сигнал;

Tд - период дискретизации.

Как видим, при такой записи алгоритма фильтрации выходной сигнал в момент времени n можно вычислить только тогда, когда станут известными два “будущих” входных отсчета. Это означает, что при практических вычислениях в «реальном масштабе времени» выходной сигнал фильтра порядка 2N будет неизбежно запаздывать относительно входного как минимум на время tз = Tд N (поскольку для получения первого результаты вычислений нужно заполнить буферную память, состоящую из N ячеек). При малых порядках фильтра такое запаздывание может быть вполне допустимым для практических приложений (например, при цифровой телефонной связи).

Если на НЦФ подать единичный импульс

то в соответствии с (32.1) на выходе должна появиться последовательность из (2N+1) отсчетов, соответствующих весовым коэффициентам фильтра ak . Очевидно, что эта последовательность конечна, поэтому НЦФ имеет конечный импульсный отклик и называется фильтром с конечной импульсной характеристи-

кой (КИХ-фильтром или FIR (finite impulse response filtre) фильтром).

Если на НЦФ подать дискретное гармоническое колебание:

xn exp( j nTд ) ,

тогда из (32.1) следует

N

yn ak exp[ j (n k)Tд ] ,

k N

264

откуда передаточная функция НЦФ

из суммы взвешенных косинусоид:

N

H д ( ) a0 2 ak cos kTд ,

k1

адля нечетных ak - a k - чисто мнимая и состоит из суммы синусоид:

N

H д ( ) 2 j ak sin kTд .

k 1

Расчет цифрового ФНЧ. Для определения параметров цифрового нерекурсивного НЧ-фильтра за основу берется идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ). Идея метода расчета сводится к аппроксимации идеального ФНЧ, передаточная функция которого имеет вид:

где c - частота среза (иногда ее обозначают в и называют «верхняя граничная частота»).

Эта передаточная функция H(j ) может быть периодизирована с периодом 2 Tд , после чего также может быть представлена рядом Фурье, который будет тем лучше аппроксимировать H(j ), чем больше слагаемых будет содержать. Ес-

265

ли же такое разложение «усечь», т.е. оставить в нем столько составляющих, сколько коэффициентов фильтра мы хотим вычислить, тогда результат такого усечения естественно трактовать как Hд(j). Появляется разница между H(j ) и ее аппроксимацией Hд(j). Одним из количественных критериев такой разницы является метод наименьших квадратов Гаусса: средний квадрат разности должен быть минимальным:

Tд Tд H ( j ) H д ( j ) 2 d = min .

2 Tд

Можно показать, что в соответствии с эти критерием ошибка аппроксимации будет минимальной, если весовые коэффициенты искомого фильтра вычислять как коэффициенты Фурье разложения в ряд периодизированной функции H(j ). Для четных функций ak можно записать:

Таким образом, коэффициент ak (k = 0, ... ,N) зависит от отношения частоты среза к частоте дискретизации. Поэтому при расчетах удобно использовать относительную частоту среза

где Sa(x) sin xx .

Расчет фильтров верхних частот (ФВЧ), полосовых (ПФ) и режекторных фильтров (РФ) производится на основании теоремы сложения преобразований Фурье.

Окна применяют в задаче синтеза КИХ-фильтров с целью подавления эффекта Гиббса – при этом удается повысить равномерность АЧХ в полосе пропускания и понизить уровень боковых лепестков в полосе задерживания.

Уравнения свертки для КИХ-фильтров могут быть в симметричной или

несимметричной форме.

266

«Симметричность» и «периодичность» окон

Выше рассматривались симметричные окна – именно такие окна обычно и применяют при цифровой фильтрации. Существует также иной способ цифровой фильтрации – с применением алгоритмов ДПФ и БПФ, где, в силу дискретности частоты и, как следствие, периодичности функций времени, могут применяться и несимметричные окна.

Несимметричное окно легко получить из симметричного, отбрасывая последний отсчет. Поскольку при дискретизации частоты окно периодизируется, окно с отброшенным последним отсчетом называют «периодическим». При достаточно больших N различие между «симметричными» и «периодическими» окнами не должно быть заметным. Поэтому правильнее смотреть на данную ситуацию как на стремление к теоретической полноте описания всех возможных ситуаций. Принципиального практического значения это различие вряд ли имеет.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.В чем заключаются достоинства и недостатки нерекурсивных цифровых фильтров (НЦФ)?

2.Какой критерий используется при расчете НЦФ нижних частот?

3.На основе какой теоремы (свойства) преобразований Фурье осуществля-

ется расчет НЦФ верхних, полосовых, режекторных фильтров?

4.Для какой цели используются окна при синтезе НЦФ?

5.Как связаны между собой симметричные и несимметричные окна?

ЛЕКЦИЯ 33. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ (БИХ ИЛИ IIR)

Основные определения. Отсчеты выходного сигнала рекурсивного фильтра в каждый момент времени зависят не только от отсчетов входного сигнала, но и от отсчетов выходного сигнала в предшествующие моменты времени. В общем случае уравнение РЦФ записывают в виде:

269

Большее из двух чисел M и N определяет порядок фильтра. Структурная схема, реализующая алгоритм (33.1), приведена на следующем рис.33.1:

Рис. 33.1

На простейших примерах можно показать, что импульсная характеристика рекурсивного фильтра бесконечна, поэтому такой фильтр называют БИХ - или IIR (infinite impulse response) фильтром. Действительно, пусть уравнение РЦФ имеет вид:

yn xn 0,5 yn 1 .

Подадим на такой фильтр единичный импульс:

1, n 0, xn x0 0, n 0.

Поскольку в моменты времени, предшествующие n 0 , фильтр не был возбужден, т.е. y 1 0 , получаем:

и т.д., т.е. импульсная характеристика длится бесконечно долго.

270