Лекции по ТПС

Возможности применения рассматриваемых методов калмановской фильтрации значительно расширяются при переходе к многомерным системам. Вместе с тем для получения основных уравнений рекуррентного оценивания векторных СП достаточно повторить преобразования, уже выполненные при выводе алгоритма (29.3). Поэтому остановимся лишь на некоторых особенностях синтеза многомерного фильтра.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.В чем заключается рекуррентность процедуры фильтрации?

2.Как называется случайный процесс, который обладает взаимозависимо-

стью между последующим и предыдущим отсчетами?

3.В чем заключается оптимальность фильтра Калмана ?

4.Какая идея реализована в фильтре Калмана-Бьюси?

5.Какие составляющие ошибки определяют дисперсию ошибки в работе фильтра?

ЛЕКЦИЯ 30. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ

Цифровая обработка сигналов связана с цифровым представлением сигналов и использованием универсальных или специализированных процессоров для анализа, изменения или извлечения информации из сигнала. Большинство сигналов, существующих в природе, являются по своей форме аналоговыми, что часто означает непрерывное изменение во времени, и описывающими изменение физических величин (например, звуковые волны). Сигналы, применяемые в ЦОС, обычно получаются из аналоговых сигналов, дискретизированных через равные интервалы времени и преобразованных в цифровой вид путем квантования по уровню.

Обработка цифрового сигнала обычно нужна для устранения шума, подавления или создания эффекта реверберации, представления сигнала в более удобной форме (спектр, спектрограмма, кепстр, вейвлет-преобразование и т.п.).

251

В настоящее время ЦОС используется во многих областях, где раньше применялись аналоговые методы, кроме того, появились совершенно новые области применения, где было сложно или невозможно пользоваться аналоговыми устройствами.

Привлекательность ЦОС обусловлена такими основными преимущества-

ми:

•Гарантированная точность. Точность определяется только числом задействованных битов.

•Совершенная воспроизводимость. Можно идентично воспроизвести каждый элемент, поскольку отсутствуют отклонения, обусловленные устойчивостью отдельных составляющих. Например, используя методы ЦОС, цифровые записи можно копировать или воспроизводить многократно без ухудшения качества сигнала.

•Отсутствие искажения характеристик из-за температуры или старости.

•Повышенная надежность, уменьшение размеров, снижение стоимости,

понижение энергопотребления – благодаря полупроводниковым технологиям.

•Большая гибкость. Системы ЦОС можно запрограммировать и перепрограммировать на выполнение различных функций без изменения оборудования. Это, пожалуй, одна из самых важных особенностей ЦОС.

•Решение сложных задач в реальном масштабе времени. ЦОС можно ис-

пользовать для выполнения функций, которые невозможны при аналоговой обработке сигналов. Например, можно получить линейную фазовую характеристику и реализовать сложные алгоритмы адаптивной фильтрации.

•В некоторых случаях информация уже может быть записана в цифровом виде, и обрабатывать ее можно только методами ЦОС.

Недостатки ЦОС

• Скорость и затраты. Проекты ЦОС могут быть дорогими, особенно при большой ширине полосы сигнала. В настоящее время скоростные АЦП/ЦАП (аналого-цифровые/цифроаналоговые преобразователи) либо слишком дороги, либо не обладают достаточным разрешением для большой ширины полосы. На данный момент для обработки сигналов в мегагерцевом диапазоне можно использовать только специализированные интегральные схемы, но они достаточно дороги. Более того, большинство устройств ЦОС еще не обладают достаточной скоростью и могут обрабатывать сигналы только со средней шириной полосы.

252

Сигналы с шириной порядка 100 МГц все еще обрабатываются аналоговыми методами. Тем не менее устройства ЦОС становятся все более скоростными.

•Время на разработку. Пока вы не знакомы с методиками ЦОС, и у вас нет необходимых ресурсов (программных пакетов и т.д.), разработка средств ЦОС будет отнимать очень много времени, а в некоторых случаях будет почти невозможна. Острая нехватка специалистов в этой области хорошо известна. Однако ситуация меняется, так как уже многие выпускники вузов разбираются в цифровых методах, а коммерческие организации все чаще начинают использовать в своей продукции преимущества ЦОС.

•Проблемы конечной разрядности. В реальных ситуациях экономические соображения предписывают использовать в алгоритмах ЦОС ограниченное число битов. Если для представления переменной задействуется недостаточное число битов, в некоторых системах ЦОС это приводит к существенному снижению качества работы системы.

Однако благодаря новым технологиям значение этих недостатков постоянно уменьшается.

КЛЮЧЕВЫЕ ОПЕРАЦИИ ЦОС

Существует большое количество разнообразных алгоритмов ЦОС, еще больше находится в стадии разработки или ждет своего открывателя. Однако для всех этих алгоритмов, включая самые сложные, необходимы одни и те же основные операции. Полезно рассмотреть некоторые из них, чтобы оценить простоту реализации ЦОС.

Основные операции ЦОС — это свертка и вычисление спектра, основанное на дискретном преобразовании Фурье и алгоритме БПФ, а также корреляция и фильтрация. Заметим, что все эти операции ЦОС требуют выполнения простых арифметических действий: умножение, сложение, вычитание и операция сдвига. Между многими этими операциями легко обнаруживается определенное сходство.

Свертка

Свертка — это одна из наиболее используемых операций в ЦОС. Например, это основная операция цифровой фильтрации. Другой пример – преобразование Гильберта, используемое при вычислении огибающей сигнала. Для двух масси-

253

где - символ свертки, а M N1 N 2 1.

Если h(n) трактовать как импульсную характеристику линейной цифровой системы, значения отсчетов которой приведены в таблице 30.1, а x(n) - как сигнал на входе цифровой системы (табл. 30.2), тогда массив y(n) представляет собой сигнал на выходе линейной цифровой системы (табл. 30.3).

Действительно, учитывая финитность (конечную длину) данных конкретных массивов, соотношение (30.1) можно переписать в виде:

k 0

Для n 0 получим:

y(0) h(0)x(0) h(1)x( 1) h(2)x( 2) 1 2 0.5 0 0.2 0 2 .

Для n 1:

y(0) h(0)x(1) h(1)x(0) h(2)x( 1) 1 3 0.5 2 0.2 0 4 .

Продолжая таким образом вычисления и учитывая, что y(n) 0, n 0, n 4 , получим результаты, сведенные в таблицу 30.3.

254

Графически результаты вычисления свертки представлены на рис.30.1.

h(n)

x(n)

y(n)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1.Назовите область применения ЦОС?

2.В чем заключаются достоинства и недостатки ЦОС?

3.Какие основные операции выполняются в ЦОС?

4.В чем заключается операция свертки?

5.Какие математические действия выполняются при вычислении операции свертки?

255

ЛЕКЦИЯ 31. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Продолжая начатую тему, приведу небольшой пример: цифровая фильтрация для одной из разновидностей цифровых фильтров – так называемых КИХфильтров (трансверсальных фильтров), математически описывается соотношением:

k 0

Сравнивая соотношения (30.2) и (31.1), нетрудно заметить их принципиальное сходство. Таким образом, цифровая фильтрация есть свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра. На рис.31.1 показана структурная схема такого фильтра. Символом z 1 обозначена задержка на один интервал дискретизации.

N 1

y(n) h(k)x(n k)

k 0

Рис.31.1

Существует целый ряд интересных применений цифровых фильтров: подавление помех, маскирующих сигнал; моделирование резонансных свойств речевого тракта человека; физическое моделирование музыкальных звуков, выравнивание сигнала (эквалайзинг) и др. Продолжим рассматривать основные операции ЦОС.

Корреляция

Существует две формы корреляции: автокорреляция (АКФ)

N |r| 1

K[r] N 1|r| x[i]x[i r] , (31.2)

i0

ивзаимная корреляция (ВКФ)

256

i 0

Нетрудно видеть известное сходство операций корреляции и свертки – разница лишь в том, что при свертке один из сигналов инвертируется, а при корреляции такой инверсии нет.

Автокорреляционная функция успешно применяется для выявления так называемой «скрытой» периодичности сигнала в задачах технической и медицинской диагностики.

Взаимно-корреляционная функция применяется в задачах обнаружения сигнала известной формы, маскируемого помехами.

Дискретные преобразования

Дискретных преобразований достаточно много (преобразования Фурье, Хаара, Уолша, Гильберта и др.), однако самым распространенным является дискретное преобразование Фурье (ДПФ), с помощью которого осуществляют спектральный анализ сигналов:

тогда становится очевидным, что ДПФ можно трактовать как результат цифровой фильтрации сигнала гребенкой узкополосных цифровых фильтров – с той лишь особенностью, что из результата фильтрации оставляется только один отсчет.

При достаточно большом значении параметра N вычисление ДПФ весьма трудоемко. Благодаря изобретению алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) (1965 год – Кули, Тьюки) стало возможным весьма эффективное вычисление ДПФ ( N log N арифметических операций вместо N 2 операций).

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЦОС

Подавление шумовой помехи

Классическая постановка задачи выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала с шумом сформулирована А.Н. Колмогоровым (1939г) и Н.Винером

(1942 г).

257

Пусть на вход линейной системы (фильтра), характеризуемой импульсной переходной характеристикой h(t) , поступает сумма статистически независимых

Как помеха, так и сигнал считаются стационарными случайными процессами (ССП), корреляционные функции которых известны.

Отклик фильтра описывается интегралом свертки:

Если фильтр предназначен для восстановления сигнала x(t) из смеси с помехой, тогда ошибка восстановления имеет вид:

(t) y(t) x(t) .

Можно показать, что средний квадрат ошибки:

будет минимальным, если выполняется условие:

где Gx ( f ) и Gn ( f ) - спектры мощности сигнала и помехи, соответственно, а H ( f ) - частотная характеристика фильтра Колмогорова-Винера.

Благодаря простоте соотношения (31.7) его легко анализировать. Действительно, если спектр помехи на всех частотах мал по сравнению со спектром сигнала, т.е. Gn ( f ) Gx ( f ) , тогда H ( f ) 1, т.е. фильтрация не нужна. Если же, напротив, в некоторой области частот Gn ( f ) Gx ( f ) , тогда H ( f ) Gx ( f )Gn ( f ) , т.е. фильтр подавляет помеху в этой области частот (рис.3).

258

Рис.31.2. Винеровская фильтрация узкополосной помехи

Еще один интересный случай - узкополосный сигнал, маскируемый широкополосной помехой. При этом в узкой области частот выполняется неравенство Gn ( f ) Gx ( f ) , а на остальных частотах, напротив, Gn ( f ) Gx ( f ) . Тогда в области существования сигнала выполняется H ( f ) 1, а для остальных частот H ( f ) Gx ( f )Gn ( f ) , т.е. фильтр подавляет широкополосную помеху.

Рис.31.3. Винеровская фильтрация узкополосного сигнала

Очевидно, винеровская фильтрация вполне согласуется с инженерными соображениями самого общего, качественного, характера: «сигнал нужно пропускать, а помеху - подавлять». Вместе с тем, соотношение (31.7) позволяет выполнять эти действия неким наилучшим образом, учитывая соотношение мощностей сигнала и помехи на каждой частоте.

Понятно также, что в случае произвольных спектров сигнала и помехи частотная характеристика винеровского фильтра может иметь весьма сложный вид.

Подавление реверберационной помехи

Математически действие реверберационной помехи h(t ) на сигнал x(t) описывается соотношением свертки:

259