Лекции по ТПС

ду собой являются некоррелированными, а, значит, и независимыми. Поэтому L(Sk) равна произведению одномерных безусловных плотностей вероятности

Т.к. дисперсия шума на входе фильтра σ2ш = N0∆fф = N0/2∆t, то

При отсутствии в принятом колебании y(t) сигнала, т.е. при yi = ni функция правдоподобия принимает вид:

m

где Ey yi2 t - энергия принятого колебания.

1

Отношение функций правдоподобия

Предположение о наличии прямоугольного фильтра на входе устройства обработки было введено нами для того, чтобы получить выражение (27.7), ибо при белом шуме σ2ш = ∞ и выражение (27.7) не имеет смысла. Но уже в выражение (27.8) мощность шума не входит. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться выражением (27.8), то предположение о наличии фильтра на входе теперь можно отбросить. При этом ∆fф = ∞ и выражение (27.8) преобразуется к следующему виду:

где Т - длительность реализации y(t).

231

Выражение (27.9) часто называют отношением правдоподобия, а qk – функционалом правдоподобия (корреляционный интеграл).

Определив отношение правдоподобия для всех сигналов алфавита источника, можно получить в соответствии с (27.6) распределение их апостериорных вероятностей.

Оптимальная обработка сигналов в бинарных каналах

При принятии решения о наличии того или иного сигнала в смеси могут иметь место как правильные решения, так и ошибки. Как правильные, так и ошибочные решения являются событиями случайными и характеризуются их вероятностями:

P(S1/S1) - условная вероятность правильного опознания сигнала S1 P(S2/S2) - условная вероятность правильного опознания сигнала S2

P(S1/S2) - условная вероятность ошибочного решения о приеме S1, при условии, что был передан сигнал S2.

P(S2/S1) - условная вероятность ошибочного решения о приеме сигнала S2 при условии, что был передан сигнал S1.

Безусловные вероятности правильного опознавания сигналов соответственно равны:

P(S1) = Pa(S1) P(S1/S1), P(S2) = Pa(S2) P(S2/S2).

Безусловные вероятности ошибок:

Pош(S1) = Pa(S2) P(S1/S2),

Pош(S2) = Pa(S1) P(S2/S1).

Здесь Pa(S1) - априорная вероятность передачи сигнала S1, Pa(S2) - априорная вероятность передачи сигнала S2.

Выбор критерия оптимальной обработки принятой смеси сигнала и помехи зависит от последствий действия ошибок в том или ином канале передачи информации.

Критерий оптимальности Байеса

Введем в рассмотрение следующую функцию вероятностей ошибок, называемую функцией потерь или функцией риска:

232

Здесь a и b - коэффициенты, характеризующие цену потерь при различных ошибках.

Оптимальной по критерию Байеса является такая обработка, которая минимизирует функцию риска. Определим правило решения, соответствующее критерию Байеса. Выразим функцию риска через функции правдоподобия. Выбор правила решения сводится к такому разбиению пространства решений на две непересекающиеся области, при котором функция риска является минимальной. Обозначим буквой А область, при попадании в которую принятой смеси y(t), принимается решение о приеме сигнала S1(t), а буквой В - область, при попадании в которую принимается решение о приеме сигнала S2(t). Тогда функцию риска можно выразить следующим образом:

z bPa (S1 ) {W(y / S1 )bPa (S1 ) aPa (S2 )W(y / S2 )}dy .

A

Очевидно, что функция z достигает минимума при таком определении области А, при котором значение интеграла достигает максимума, максимум интеграла, в свою очередь, имеет место при условии, что в область А будут включены все положительные значения подынтегральной функции. Итак, область А определяется следующим условием:

bPa (S1 )W(y / S1 ) aPa (S2 )W(y / S2 ) 0,

откуда

l(S1) / l(S2) = W(y/S1) / W(y/S2) > aPa(S2) / bPa(S1).

Аналогично область В описывается так: l(S1) / l(S2) < aPa(S2) / bPa(S1).

Если принятая смесь y(t) принадлежит области А, по принятому условию, должно приниматься решение о приеме сигнала S1, при принадлежности к области В - о приеме сигнала S2. В итоге правило решения, соответствующее критерию Байеса, может быть записано следующим образом:

При помехе в виде аддитивного белого шума можно воспользоваться выражением (5.9) для отношения правдоподобия и записать правило решения следующим образом:

233

Так как отношение правдоподобия есть экспоненциальная функция, монотонная функция аргументов q1 и q2, следовательно, неравенство можно упростить, прологарифмировав левую и правую части неравенств (27.14). При этом правило решения преобразуется к следующему виду:

Выражение (27.15) в литературе часто называет функцией решения. Выражение в правой части неравенства известно и постоянно (все входящие в него элементы определяются), поэтому его вычисляют как число и называют порогом сравнения – h.

Критерий оптимальности Котельникова

Во многих каналах связи ошибки всех родов одинаково вредны. В этом случае в выражении (27.15) цены за ошибки a и b логично принять равными. Тогда правило решения (5.15) может быть упрощено следующим образом:

Выражение (27.16) и является правилом решения по критерию оптимальности Котельникова. Данный критерий был выдвинут академиком В.А. Котельниковым как часть теории систем связи, т.к. в период его разработки радиотехника сводилась, в основном, к системам связи, а такие ее разделы, как радиолокация, телеуправление, автоматика и другие только зарождались.

Из выражения (27.15) и (27.16) следует, что критерий Котельникова можно считать частным случаем критерия Байеса.

Применительно к критерию Котельникова в выражении (27.11) можно, не снижая общности рассуждений, цены за ошибки a и b принять равными единице (a = b = 1). При этом функция риска примет следующий вид:

z = Pош(S1) + Pош(S2).

Таким образом, в критерии оптимальности Котельникова функция риска имеет следующий смысл: функция риска равна суммарной вероятности всех возможных ошибок. Следовательно, при обработке принятой смеси сигнала и помехи по правилу, соответствующему критерию Котельникова, минимизируется суммарная вероятность ошибок.

234

При приеме полностью известных сигналов величины Е1, Е2, Pa(S1), Pa(S2), N0 и форма сигналов S1(t) и S2(t), а также моменты их качала и окончания заранее известны на приемном конце канала связи. Следовательно, вместе приема можно воспроизвести эти сигналы и построить обрабатывающее устройство, работающее по правилу (27.15). Один из возможных вариантов структурной схемы такого приемника представлен на рис. 27.2.

Определим минимальное значение функции потерь, соответствующее оптимальной обработке. До приема колебания ∆ величина ∆q, является случайной, т.к. в подынтегральную функцию (27.10) входит случайная функция n(t). Нами было принято условие, что помеха является стационарной с гауссовым распределением вероятностей, следовательно, и случайная величина ∆q также имеет гауссово распределение вероятностей, причем это распределение зависит от того какой из сигналов: S1 или S2 находится в принимаемой смеси.

Определим числовые характеристики случайной величины ∆q. В случае, когда y(t) = n(t) + S1(t), передавался сигнал S1.

откуда

236

Из приведенных выражений следует, что при увеличении отношения сиг- нал-помеха (например, при увеличении энергии сигналов Е1 и Е2 при неизменной величине N0) функция потерь уменьшается.

Оптимальный приемник по критерию Котельникова Как уже указывалось, правило решения по критерию Котельникова можно

получить из правила решения по критерию Байеса, приняв a = b = 1. Это означает, что структура приемника Котельникова совпадает со структурой приемника Байеса, а различие сводится только к различию в величине оптимального порога, с которым сравнивается полученное в результате обработки значение ∆q.

Заштрихованная на рис. 27.3 площадь в этом случае равна суммарной вероятности ошибок в опознавании сигнала при приеме на фоне белого шума.

Сравним потенциальные значения помехоустойчивости приемника Котельникова в системах с разными видами манипуляции.

1. Оптимальный прием амплитудно-манипулированных сигналов.

При амплитудной манипуляции одним из сигналов (назовем, его сигналом S2), является пауза (отсутствие сигнала). При этом

где x = ∆q / σ∆q, M = m(∆q) / σ∆q.

Как известно, для увеличения скорости передачи информации, передаваемые сообщения кодируют так, чтобы все символы были равновероятными, т.е. Pa(S1) = Pa(S2) = 1/2. Для бинарного канала это означает, что

M

2. Оптимальный прием при частотной манипуляции.

Вбинарном канале связи с частотной манипуляцией сигналы представляют собой прямоугольные радиоимпульсы одинаковой длительности с одинаковыми амплитудами, но различными несущими частотами.

Вэтом случае

Е1 = Е2, m(∆q1) = -m(q2) = 2Es/N0, К12 = 0, σ∆q = 4Es/N0

238

и суммарная вероятность ошибки

В канале с фазовой манипуляцией сигналы представляют собой прямоугольные импульсы одинаковой длительности и амплитуды с одинаковой несущей частотой, но противоположными начальными фазами. При этом

Сравнение приведенных результатов показывает, что при прочих равных условиях наибольшей помехоустойчивостью обладает система с фазовой манипуляцией и наименее помехоустойчива система с амплитудной манипуляцией, этот результат объясняется тем, что в пространстве решений расстояние между различаемыми сигналами максимально для системы с фазовой манипуляцией и минимально для системы с амплитудной манипуляцией.

Контрольные вопросы:

1.В чем смысл теории Байеса?

2.Что отражает функция правдоподобия?

3.Поясните состав выражения функционала правдоподобия.

4.В чем суть критерия оптимальности Байеса?

5.Чем отличается критерий Котельникова от критерия Байеса?

6.Что такое оптимальный порог?

7.Что такое оптимальный приемник?

8.Чем отличается оптимальный приемник Котельникова от оптимального приемника Байеса?

ЛЕКЦИЯ 28. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

239

Матричное уравнение регрессии является основным инструментом для пошагового уточнения не только постоянных параметров, но и вектора состояния, изменяющегося со временем. На нем основаны многие рекурсивные алгоритмы, известные как алгоритм Калмана. Среди всех алгоритмов следует выделить алгоритмы фильтрации, позволяющие выделять сигнал на фоне помех. Рассмотрим наиболее простой случай, когда на входе приемника действует колебание, представляющее аддитивную смесь сигнала и помехи

кого выделения сигнала называется фильтрацией. В некоторых случаях лучший результат можно получить, если оценивание сигнала x(t) производить с запаздыванием на фиксированное время T

x(t T ) Lt z(t).

В этом случае процедура оценивания называется сглаживанием. В случае прогнозирования значения сигнала

xˆ(t T ) Lt z(t)

процедуру оценивания называют упреждением или экстраполированием.

Все эти три типа задач можно объединить, если ввести понятие «желаемо-

го» сигнала

y(t) Hx(t),

где H – линейный оператор. В частности, если

H e TD , D dtd ,

будем иметь

y(t) e TDx(t) x(t T ).

240