Лекции по ТПС

Рис.26.3

Временная диаграмма работы фильтра для идеальной интегрирующей цепи показана на рис. 26.4.

U

1

U

1

1

U

2

1

U

3

1

Рис.26.4

Сигнал на выходе фильтра, при поступлении на его вход импульса постоянного тока, обладает свойствами функции автокорреляции. Максимум функции приходится на момент окончания входного сигнала t =Т и численно равен энергии импульса.

221

Фильтр, согласованный с радиоимпульсом. Радиоимпульс задан анали-

тически: s(t) A cos 0 t , 0 < t < Т (рис. 26.5). Пользуясь прямым преобразованием Фурье определим спектральную плотность напряжения s(t):

функцию резонансного высокодобротного контура, имеющего резонансную частоту 0 , равную частоте заполнения радиоимпульса. Фильтр, согласованный с прямоугольным радиоимпульсом, реализуется схемой (рис. 26.6).

222

Рис.26.6

Временная диаграмма работы фильтра приведена на рис. 26.7.

U

Рис.26.7

Рассмотренные фильтры являются оптимальными. Чаще, для фильтрации сигнала на фоне помехи вместо согласованных используются фильтры, характеристики которых частично согласованы с характеристиками сигнала. Такие фильтры называются квазиоптимальными.

Квазиоптимальная фильтрация

Реализовать оптимальный согласованный фильтр практически сложно, поэтому применяют метод квазиоптимальной фильтрации.

223

Впервые этот метод предложил Сифоров В.И. Метод квазиоптимальной фильтрации основан на введении понятия эффективной полосы сигнала.

∆F

f

В.И.Сифоров рассмотрел квазиоптимальное согласование прямоугольного видеоимпульса с идеализированным фильтром с прямой частотной характеристикой и определил эффективную полосу:

эф u

При этом отношение сигнал/шум мощности:

2E

q2max 0,82 N s , (26.13)

0

т.е. снижение отношения сигнал/шум на 0,18 по сравнению с (26.5). Для выравнивания отношения необходимо увеличить энергию сигнала в 1,22 раза (меньше 1 дБ). При этом полоса прямоугольного фильтра некритична – при изменении ее в 1,5 раза проигрыш увеличивается до 1,25 раза (т.е. в пределах 1 дБ). Применение квазиоптимальной фильтрации при незначительном проигрыше дало возможность достаточно просто реализовать согласованную фильтрацию.

224

Еще проще реализовать квазиоптимальную фильтрацию для прямоугольного импульса другим фильтром – фильтром низких частот.

Частотную характеристику фильтра низких частот, показанного на рис. 26.10, имеет простейшая RC-цепь, рис.26.11.

3

2

ω

R

C

Рис. 26.11

Кф ( ) 1 .

1RС

Т= RC – постоянная времени фильтра, от ее величины зависит скорость убывания частотной характеристики рис. 26.10(1, 2, 3). Понятно, что частные характеристики 1 и 3 не оптимальны, в первом случае через фильтр проходит много шума, во втором – на выход фильтра поступает мало энергии сигнала.

Максимальным значение сигнала на выходе цепи RC для прямоугольного импульса Uвых(t) будет в момент времени t = τu, т.е.

где As – амплитуда.

Средняя плотность мощности белого шума на выходе RC цепи равна:

225

где K ф2 ( ) - квадрат модуля коэффициента передачи интегрирующей RC цепи по напряжению.

Спектральная плотность "белого" шума обозначается как N0 при оценке шума в полосе частот от 0 до ∞ и равна N0/2 при оценке шума в полосе от -∞ до +∞. Будем рассматривать шум в полосе от -∞ до +∞, т.е. через выражение N0/2.

На выходе цепи дисперсия шума будет:

Отношение сигнал/шум на выходе цепи по мощности:

226

As2 u - представляет энергию сигнала Es.

нал/шум оптимального фильтра. Оценим изменение этого отношения для анализируемого квазиоптимального фильтра, пронормировав его по qop2 t (разделив q2

на qop2 t ):

Исследуя на экстремум (максимум) выражение (26.14) в зависимости от отношения Т/τu, можно легко установить, что максимальное значение η будет при Т/τu = 1, т.е. при Т = τu и оно будет равно:

η = 2(1-е-1) = 0,798 ≈ 0,8.

Это говорит о том, что отношение сигнал/шум квазиоптимального RC фильтра немного хуже, чем оптимального (~0,8), однако его реализация крайне проста.

Исследуя влияние отношения T/τu на отношение сигнал/шум, нетрудно вычислить график этой зависимости (изменение постоянной времени T = RC отражены на рис. 26.10, кривые 1 и 2).

Рассчитанный по формуле (26.14) график зависимости отношения сигнал/шум от отношения T/τu приведен на рис. 26.12.

η

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Рис. 26.12

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

227

1.Почему фильтр называется согласованным?

2.Почему фильтр называется оптимальным?

3.Чему равно отношение сигнал/шум на выходе согласованного, оптимального фильтра?

4.В чем состоит метод квазиоптимальной фильтрации?

5.Во сколько раз отношение сигнал/шум квазиоптимального фильтра меньше отношения сигнал/шум оптимального фильтра.

ЛЕКЦИЯ 27. ПРИЕМ СИГНАЛОВ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Вычисление апостериорных вероятностей

При решении задач оптимального приема принятие решения о наличии сигнала в смеси с помехой, выделении его из смеси с помехой, определения его параметра осуществляется на основе предварительных (априорных) сведений о принимаемом сигнале и надлежащей его обработке.

Если бы мы не располагали предварительными сведениями о сигнале (т.е.

оего параметрах), то его нельзя было бы отличить от помехи. Наоборот, прием детерминированного сигнала не доставляет никакой информации; если все

онем известно, то его всегда можно полностью воспроизвести на приемном конце. Поэтому носителями полезной информации могут быть только неизвестные параметры сигнала.

По сравнению с априорными сведениями, знание наблюдателя об исследуемой ситуации в результате анализа принятого колебания увеличивается. Вновь сформированное знание называется апостериорным.

Вспомним элементы теории вероятностей. Вероятность совместного события

Р(А В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).

Известны: Р(Нk) и P(FA/Hk) ... P(B/Hn), Н1, Hk, Hn – гипотезы и передаче сигналов, Pa(Hk) – априорная их вероятность.

Найти Р(А) – безусловную вероятность.

Р(А/Н1

228

ΣР(Нk) = 1

Формула полной вероятности:

n

Р(А) P(AH k ) ,

k 1

т.к. Р(АHk) = P(Hk)P(A/Hk)

n

Р(А) P(H k ) P(A / H k ) (27.1)

k 1

Если обратная задача: известно P(A) и P(A/Hk), то нужно найти, какая была Hk - это задача Байеса:

Р(АHk) = P(Hk)P(A/Hk) = P(A)P(Hk/A)

отсюда

Р(H k / А) P(H k ) P(A / H k ) . P(A)

Р(А) из формулы полной вероятности

здесь Ра(Hk) – априорное (до опыта, до передачи сигнала) распределение вероятностей гипотез Hk;

Р(Hk/А) – апостериорная вероятность (после опыта, после приема сигнала), которую обозначим Ppst( ).

Пусть бинарный сигнал принимается на фоне аддитивной помехи в виде белого шума, т.е. стационарной помехи с энергетическим спектром постоянной интенсивности по всей оси частот: y(t) = s(t) + n(t).

Для упрощения математических выкладок введем временно следующее ограничивающее условие: принятая смесь y(t) перед последующей обработкой пропускается через идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной АЧХ и ФЧХ ∆φ(ω) = 0. Обозначим полосу пропускания фильтра через ∆fф = 0 ... fв.

229

Пусть по каналу связи передается один из возможных сигналов множества {S1, S2, ..., SL}. На приемном конце канала получена реализация y(t). В соответствии с теоремой Байеса вероятность того, что в принятой смеси находится сигнал Sk(t) равна

где Pa(Sk) - априорная вероятность передачи сигнала Sk(t)$

W(y(t)/Sk(t)) - плотность вероятности получения принятой реализации смеси при условии, что был передан сигнал Sk(t) .

Т.к. знаменатель выражения (27.3) не зависит от конкретного значения k, то

где А - постоянная, не зависящая от k величина.

Для решения задачи различения символов необходимы не абсолютные значения апостериорных вероятностей, а соотношения между ними. Поэтому значение постоянной величины нас в дальнейшем интересовать не будет.

Таким образом, распределение апостериорных вероятностей передачи каждого из возможных сигналов (пауза в некоторых случаях также может рассматриваться как один из сигналов) при заданном распределении априорных вероятностей определяется только условными плотностями вероятностей W(y/Sk).

Пропущенная через фильтр нижних частот смесь y(t), имеет ограниченный спектр, следовательно, функция W(y/Sk) в соответствии с теоремой Котельникова полностью определяется отсчетами, взятыми с интервалами ∆t = 1/2fв. Отсюда следует, что плотность вероятности W(y/Sk) есть m-мерная условная плотность,

Рассматриваемая как функция k условная m-мерная плотность вероятности определяет отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра. Обо-

При заданном сигнале вероятности получения мгновенных значений смеси y1, y2, ..., ym, равны соответственно вероятностям мгновенных значений шума в эти же моменты времени n1, n2, ..., nm. Поэтому

L(Sk) = W(n1, n2, ..., nm).

Белый шум, пропущенный через фильтр с ограниченной полосой, является гауссовым стационарным процессом с автокорреляционной функцией вида R(τ) = sinωвτ/ωвτ. Следовательно, отсчеты шума, взятые с интервалами ∆t = 1/2fв меж-

230