Лекции по ТПС
.pdf
P |
|
1 |
T a2 |
(1 m cos t)2 cos2 |
t |
a02 |
(1 |
m2 |
) (1 |
m2 |
)P |
(22.13) |
|
|
|
|
|
||||||||||
cp |
|
T |
|
0 |
|
0 |
2 |
2 |
2 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T 2 – период модулирующего колебания. Из последних выражений при
m = 1 получим
Pmin 0, |
Pmax 4P0, |
(22.14) |
|
P 0,5P0 , |
Pcp 1,5P0 |
||
|
Таким образом, при стопроцентной модуляции 2/3 всей мощности тратится на передачу несущего колебания и 1/З - на передачу боковых частот. Обусловленное модуляцией приращение мощности, которое в основном и определяет условия выделения сообщения при приеме, в этом случае не превышает половины мощности несущего колебания. Кроме того, большая величина пиковой мощности по сравнению со средней требует линейного режима работы тракта приема-передачи в широком динамическом диапазоне (в передатчике лампы должны выбираться по максимальной мощности). Сказанное позволяет заключить, что амплитудная модуляция с энергетической точки зрения имеет существенные недостатки.
Указанные недостатки амплитудной модуляции можно в значительной мере устранить, если использовать передачу с подавленной несущей. Подавление несущей осуществляется ори использовании балансной амплитудной модуляции (БАМ). Этот вид модуляции называют еще двухполосной модуляцией (ДМ) При балансной модуляции сигнал записывается в виде
s(t) a0u(t)cos 0t |
(22.15) |
откуда при модуляции чистым тоном получим
s(t) a0 cos t cos 0 |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
(22.16) |
|
a |
|
cos( )t |
a |
|
cos( )t |
||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
0 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
т.е. только две боковые частоты без несущей.
При балансной модуляции аналогично (22.10) - (22.13) находим
181
1 |
|
T0 |
|
1 |
|
|
|
|
||
P0 |
|
|
|
a02 cos2 |
0tdt |
|
a02 , |
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Pmax P0 , |
|
|
|
|
|
(22.17) |
||||
|
|
1 T |
|
|
|
1 |
|
|
||
Pcp |
|
|
a02 cos2 |
t cos2 |
0tdt |
|
a02 |
0,5P0 |
||
T |
|
4 |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, энергетические показатели в этом случае значительно лучше, чем при обычной АМ.
На рис.22.5 показан спектр сигнала при балансной модуляции и временные диаграммы при обычной и балансной модуляции и временная диаграмма в последнем случае получается путем вычитания из обычного АМ колебания составляющей a0 cos 0t .
Рис.22.5
Нетрудно видеть, что огибающая при балансной модуляции имеет удвоенную частоту, а фаза высокочастотного заполнения меняется скачком на 180 при каждом переходе огибающей через нулевое значение. Весьма показательным примером этого может служить амплитудно-манипулированное колебание с подавленной несущей, рис.22.6. Такое колебание по сути дела будет являться фазоманипулированным колебанием, которое будет рассмотрено подробнее несколько ниже. Однако уже сейчас можно отметить, что фазоманипулированное колебание будет иметь амплитудный спектр АМ колебания с подваленной несущей.
182
Рис.22.6
Еще одной разновидностью АМ является однополосная модуляция (ОМ или ОБП), при которой передается только одна боковая полоса частот. При модуляции чистым тоном в этом случае из (22.16) имеем
s(t) 12 a0 cos( 0 )t
Использование БАМ и ОМ позволяет сократить бесполезный расход энергии на составляющую несущей частоты, а при ОМ - сократить дополнительно вдвое ширину спектра передаваемого сигнала. Однако для демодуляции сигнала на приемной стороне несущая необходима. Необходимость восстановления
несущей требует некоторого усложнения аппаратуры.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1.Что означает термин «модуляция»?
2.Является модуляция линейным преобразованием?
3.В каком интервале может изменяться коэффициент модуляции?
4.Чему равна ширина спектра амплитудно-модулированного сигнала?
5.Какой из видов амплитудной модуляции обеспечивает минимальную ширину спектра передаваемого сигнала?
183
ЛЕКЦИЯ 23. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
При частотной модуляция по закону модулирующего колебания и(t) изменяется частота высокочастотного несущего колебания.
На рис.23.1 показаны графики модулирующего и модулированного сигналов в случае модуляции чистым тоном.
Рис.23.1
Получим выражение для ЧМ - колебания. По определению
cos t (1 cos t), |
(23.1) |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
где - максимальное отклонение частоты, называемое девиацией частоты, а
- относительное изменение частоты.
0
По своему определению мгновенная круговая частота является производной по времени от аргумента тригонометрической функции cos (t) , представляющей
колебание, т. е. (t) |
d (t) |
(23.2) |
|
dt |
|||
|
|
||
Из последнего выражения получим |
|||
T |
|
||
(t) (t)dt 0 , |
(23.3) |
||
0 |
|
|
|
т.е. фаза колебания определяется интегралом от круговой частоты. Поэтому для ЧМ - колебания при модуляции чистым тоном можно записать
184
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
s(t) a0 cos (t) a0 cos ( 0 |
cos t 0 )dt |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(23.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cos( t |
|
sin t |
|
), |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечаем, что изменение частоты по закону cos t приводит к изменению
фазы по закону |
sin t . Величина |
|
|
называется индексом частотной |
|
|
|
|
|
модуляции и имеет смысл максимальной величины (амплитуды) изменения фазы при частотной модуляции.
Заменяя косинус суммы двух углов по известным формулам тригонометрии, при 0 0 получим
s(t) a0 cos( sin t)cos 0t a0 sin( sin t)sin 0t |
(23.5) |
Определим теперь спектр частотно-модулированного сигнала. Начнем со случая малого индекса модуляции, когда 1. В этом случае
cos( sin t) 1,
(23.6)
sin( sin t) sin t
s(t) a |
|
cos t |
1 |
a |
|
cos( |
)t |
1 |
a |
|
cos( )t |
(23.7) |
0 |
|
0 |
|
0 |
||||||||
|
0 |
2 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечаем, что при малом индексе модуляции спектр ЧМ колебания отличается от спектра АМ - колебания только сдвигом фазы нижней боковой частоты на 180. Это иллюстрируется рис.23.2, на котором показана векторная диаграмма для ЧМ колебания.
Рис.23.2
185
На диаграмме результирующий вектор ОД изменяется как по фазе, так и амплитуде, однако при 1 амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь. При произвольных значениях β с учетом всех частотных составляющих спектра результирующий вектор будет изменяться только по фазе.
Определим теперь спектр ЧМ колебания при произвольном индексе модуляции. Для этого периодические функции cos( sin t) и sin( sin t) разложим в ряды Фурье, коэффициенты которых, как доказывается в теории бесселевых функций, являются функциями Бесселя первого рода:
|
|
cos( sin t) I0 ( ) 2 I2k ( )cos2k t |
|
k 1 |
|
|
|
sin( sin t) 2 I2k 1 ( )sin(2k 1) t |
(23.8) |
k 1
Подставляя последние выражения в (2.3.21) и ские преобразования, окончательно получим
s(t) a0 I0 ( ) cos 0t a0 I k ( ) cos( 0 k
k 1
a0 ( 1)k I k ( ) cos( 0 k )t
k 1
производя тригонометриче-
)t
(23.9)
Таким образом, ЧМ колебание имеет дискретный спектр и состоит из несущей и бесконечного числа боковых частот 0 k с амплитудами a0 Ik ( ) .
Практически ширина спектра при частотной модуляции ограничена. Это можно заметить из рис.23.3, на котором приведены графики функций I k ( ) .
186
Рис.23.3
При 1 и k функции I k ( ) убывают столь быстро, что ими можно пренебречь, т.е. считать, что Ik 1 ( ) 0. Поэтому ширина спектра при широкополосной ЧМ ( 1) будет равна
2 * 2( 1) 2 2 2 (23.10)
т.е. приближенно равна удвоенной девиации частоты.
На рис.23.4 в качестве примера показан график модуля спектра ЧМ колебания при 5.
Таким образом, ширина спектра при широкополосной ЧМ в 1 раз шире, чем при обычной АМ. Преимуществом частотной модуляции является постоянство мощности, так как амплитуда сигнала в процессе модуляции не изменяется.
Отметим теперь, что при частотной модуляции девиация частоты определяется амплитудой модулирующего сигнала и(t). При уменьшении амплитуды
модулирующего сигнала уменьшается индекс модуляции |
|
|
и действи- |
|
|
|
|
тельная ширина спектра 2 * . При постоянной амплитуде и 1 изменение
187
частоты модулирующего сигнала Ω изменяет индекс модуляции, число линий и
интервал между линиями в спектре ЧМ колебания, однако ширина спектра 2 * практически остается постоянной.
Рис.23.4
Выше рассматривался случай модуляции чистым тоном. По модуляции сложным сигналом спектр ЧМ колебания будет гораздо богаче, а ширина спектра при 1 будет равна
2 * 2 max ,
где Ωтах - максимальная круговая частота в спектре модулирующего сигнала.
В качестве примера рассмотрим случай частотной манипуляции, рис.23.5, когда модулирующая функция представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с частотой Ω. В этом случае частота заполнения принимает два дискретных значения 1 и 2 .
188
Рис.23.5
Частотно-манипулированное колебание можно представит в виде суммы двух амплитудно-манипулированных колебаний с несущими частотами 1 и2 , поэтому, его спектр будет равен сумме спектров последних. На рис.23.5 показаны амплитудные спектры частотно-манипулированных сигналов для различных соотношений между 1 и 2 .
Заметим, что эти две частоты при передаче дискретных сообщений условно называют частотами ''нажатия'' и "отжатия".
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1.Какой параметр несущего колебания изменяется пропорционально изменению напряжения сигнала источника при частотной модуляции?
2.Что понимается под девиацией частоты и индексом модуляции?
3.Каким спектром обладает частотно-модулированное колебание?
4.В чем преимущество частотной модуляции перед амплитудной?
5.Каким спектром обладает частотно-модулированный сигнал?
ЛЕКЦИЯ 24. ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
При фазовой модуляции в соответствии с модулирующим сигналом изменяется фаза высокочастотного колебания
(t) 0 u(t), |
(24.1) |
где - индекс фазовой модуляции. При модуляции чистым тоном имеем
(t) 0t cos t 0 |
(24.2) |
|
s(t) a0 cos( 0t cos t 0 ) |
||
|
189
Сравнивая (24.2) и (23.2), можно заметить, что выражения для ФМ и ЧМ по форме записи одинаковы. Однако при ФМ в аргумент тригонометрической функции входит модулирующая функция u(t), а при ЧМ - интеграл от нее. При модуляции чистым тоном и одинаковых индексах модуляции разницы в форме и спектрах этих колебаний нет. Различие между ними заключается в различном определении индексов модуляции. При фазовой модуляции индекс модуляции пропорционален амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от его частоты. При ЧМ величина девиации пропорциональна амплитуде
модулирующего напряжения, а индекс модуляции |
|
зависит от частоты |
|||
|
|
|
|
|
|
модуляции. Появление множителя |
1 |
означает необходимость введения соот- |
|||
|
|||||
|
|
|
|
||
ветствующих корректирующих цепей: если для приема ФМ сигналов используется приемник ЧМ сигналов, то в последнем необходимо добавить интегрирующее звено.
Существенное различие между ФМ и ЧМ обнаруживается при сложных модулирующих сигналах, т.е. когда модулирующая функция обладает богатым спектром. В качестве примера можно рассмотреть случай фазовой манипуляции рис.24.1 а.
Рис.24.1
Как отмечалось выше, такой сигнал можно рассматривать как АМ колебание с подавленной несущей, спектр которого показан на рис. 24.1 б.
Этот же результат можно получить, если рассматривать ФМ колебание как сумму двух АМ колебаний, одно из которых сдвинуто по фазе на 180 и по вре-
мени на величину T2 2 . Поэтому можно написать
190