РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРОПИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЁХДИАГОНАЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ
Тарасова Анна, студентка группы 6305
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Многие задачи имеют как классическую, так и тропическую формулировки.
Есть классические задачи, решение которых удалось получить только после перехода к тропической формулировке.
Если сравнивать с физикой, то тропическая математика выступает в роли классической физики, а классическая математика – в роли квантовой.
Развитие тропической математики идёт очень активно. Создаются аналоги классических алгоритмов, идёт работа над оценкой их сложности.
2
ОПИСАНИЕ РАБОТЫ
Объект исследования: решение систем тропических линейных уравнений.
Предмет исследования: алгоритм Григорьева, который имеет неполиномиальную сложность.
Задача: построение специализации для узкого класса матриц с меньшей вычислительной сложностью.
Результат: построена специализация для трёхдиагональных матриц, она работает эффективнее по времени и по памяти.
Направление развития работы: оценка сложности алгоритма Григорьева для трёхдиагональных матриц
3
ОПИСАНИЕ РАБОТЫ
В выпускной квалификационной |
|
4000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
работе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мс |
3000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
приведены основные термины |
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Время, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
тропической математики, |
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
необходимые для исследования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
алгоритма, и их объяснения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
проведено сравнение алгоритма |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1024 |
|
|
|
|
|
|
2000 |
||||||||||||||||
|
Григорьева с алгоритмом Гаусса, |
256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размер матрицы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
выделены идеи тропикализации; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
построена специализация алгоритма Григорьева для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
• |
трёхдиагональных матриц, работающая на них эффективно по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
времени и памяти; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прив дён алгоритм проверки системы на совместность. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4
ОСНОВЫ ТРОПИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ
••Операции:
•;
•.
•Тропические полиномы:
10
8
6
4
2
=8
•Тропический полином – кусочно- функция.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
•Точки перегиба – его корни.
•Корень тропического полинома– набор , на котором минимум достигается не менее двух раз (на нескольких мономах).
5
ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА Д. Ю. ГРИГОРЬЕВА
Итерация алгоритма – спуск матрицы:
Формируется множество столбцов, на которых достигаются строгие минимумы какой-либо из строк.
Вычисляется наименьшее число, которое не изменит положение существующих минимумов, но добавит в некоторые строки новые.
Константа добавляется к столбцам множества.
Спуск повторяется до тех пор, пока не выполнится одно из условий:
•ни в одной из строк нет строгого минимума;
•все столбцы матрицы включены в формируемое множество. 6
ОПИСАНИЕ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ
В• трёхдиагональной матрице информативными
являются только элементы трёх диагоналей. |
|
|
) |
|||||||
|
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|||
• |
тропические нули хранить не нужно;1 |
|
|
2 |
|
2 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
||
• для работы с матрицей используем |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
||||||
преобразование индексов и |
хранение |
0 |
|
… |
− 1 |
|
||||
(0 |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
− 1 |
|
||||||
в матрице ;
• минимум стоит искать только по трём элементам.
7
ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Тропические системы с трёхдиагональными матрицами используются для:
•нахождения элементов тропических рекуррентных последовательностей;
•построения нейронных сетей с тропическими активационными функциями;
•решения тропических дифференциальных уравнений.
8