Определения, обозначения и сокращения

СЛУ – система линейных уравнений.

СТЛУ – система тропических линейных уравнений.

Нижняя диагональ – диагональ, лежащая под главной диагональю матрицы.

Верхняя диагональ – диагональ, лежащая над главной диагональю матрицы.

Строгий минимум по строке – наименьший элемент строки, для которого в этой строке нет равного.

Строгий минимум по столбцу – наименьший элемент столбца, для которого в этом столбце нет равного.

Полукольцо – множество, над которым определены операции ассоциативных сложения и умножения, причем сложение, а умножение дистрибутивно относительно сложения.

Единица полукольца – нейтральный по умножению элемент.

Нуль полукольца – нейтральный по сложению элемент.

Идемпотентная операция – операция, повторное применение которой даёт тот же результат, что и первое.

Степень монома – сумма степеней всех входящих в него переменных.

Степень многочлена – степень максимального монома этого многочлена.

Тропический перманент – минимум из сумм по перестановкам столбцов элементов матрицы.

Тропически невырожденная матрица – матрица, для которой минимум перманента нестрогий.

Тропический ранг матрицы – размер её наибольшей тропически невырожденной подматрицы.

Треугольная матрица – матрица, в которой все элементы, лежащие строго ниже главной диагонали или строго выше неё, равны нулю.

Верхняя матрица Хессенберга – матрица, у которой элементы, лежащие ниже первой нижней диагонали, нулевые.

Нижняя матрица Хессенберга – матрица, у которой элементы, лежащие выше первой нижней диагонали, нулевые.

Трёхдиагональная матрица – матрица, одновременно удовлетворяющая свойствам и нижних, и верхних матриц Хессенберга.

Введение

Тропическая применяется в оптимизационных и экономических задачах, в теории принятия решений, в физике и в построении нейросетей. В частности, тропические линейные уравнения используются в нейронных сетях с тропическими активационными функциями, а также при решении тропических дифференциальных уравнений. Идемпотентные аналоги алгоритмов классической математики [1] часто упрощают решение задач даже с учётом затрат на переход от классических терминов к тропическим.

Актуальность данной работы заключается в том, что описанные в работе идеи спецификации алгоритма для узкого класса матриц способны уменьшить его вычислительную сложность для конкретных задач, таких как, например, решение дифференциальных уравнений. Также пошаговое сравнение тропического алгоритма с его классическим аналогом выделяет идеи перехода между областями математики, которые могут быть использованы для построения новых алгоритмов.

Целью работы является построение спецификации алгоритма Григорьева для трёхдиагональных матриц и анализ результатов реализации.

Объектом исследования является решение тропических систем линейных уравнений (ТСЛУ). Предмет исследования — работа алгоритма Григорьева [2], тропического аналога алгоритма Гаусса. В ВКР формируются идеи, ускоряющие его работу на трёхдиагональных матрицах.

В первом разделе приводятся основные определения тропической математики, необходимые для изучения алгоритма Григорьева. Во втором -описание алгоритма Гаусса и метода прогонки, а также определение трёхдиагональных матриц. Третий раздел посвящён сравнению алгоритмов Гаусса и Григорьева, которое не отражено в известных мне источниках. Четвертый раздел состоит из идей преобразования изучаемого алгоритма для трёхдиагональных матриц и их реализации, а шестой включает в себя экономическое обоснование ВКР.