Практики / Практическая работа №2_Моделирование_Гвоздев

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра технической кибернетики

Марковские процессы

(уравнения Колмогорова)

Методические указания по выполнению практической работы по

дисциплине

«Моделирование»

Выполнил: ст. гр.

Проверил:

Гвоздев В. Е.

Уфа 2022

Цель работы: по заданному графу состояния, интенсивности потоков переходов и оценкам эффективности, соответствующим каждому состоянию, рассчитать:

1) Вероятности состояний

2) Среднюю эффективность системы

Вариант 18.

8

6

Μ83

Λ12

Λ01

Λ23

Μ10

Μ32

Μ21

Λ16

Μ61

Λ38

Λ34

1

2

4

3

0

Μ43

Μ73

Λ37

Λ15

Μ51

7

5

Значение Λij:

Наименование	Λ01	Λ12	Λ23	Λ34	Λ15	Λ16	Λ37	Λ38
Значение	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8

Значение Μji:

Наименование	Μ10	Μ21	Μ32	Μ43	Μ51	Μ61	Μ73	Μ83
Значение	0.15	0.25	0.35	0.45	0.55	0.65	0.75	0.85

Значение Эj:

Наименование	S0	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8
Значение	12	3	4	5	6	7	8	9	2

Ход решения: в соответствии с заданным графом запишем систему уравнений:

Так как уравнения однородны и не имеют свободного члена, решить эту систему невозможно. Отбросим одно уравнение и добавим условие нормировки:

Подставив значения M и Ʌ, получим:

Выразим значения Р через Р0:

Подставив эти значения в последнее уравнение, получим:

5.119 = 1;

= 0.195351

Теперь можно посчитать значение всех вероятностей:

Знание финальных вероятностей состояний позволяет оценить среднюю эффективность работы системы (вероятность Р𝑖 характеризует среднее время пребывания системы в состоянии S𝑖).

Средняя эффективность работы системы:

W = 12*0,195351 + 3*0,13 + 4*0,1 + 5*0,088 + 6*0,078 + 7*0,12 + 8*0,12 + 9*0,082 * 2*0,083 = 6,75

Контрольные вопросы:

1. Что такое «процесс с дискретным состоянием»?

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», то есть практически мгновенно.

2. В чем смысл понятия «процесс с непрерывным временем»?

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксируются заранее, а неопределенны, случайны (то есть могут происходить в любой момент времени).

3. В чем особенности регулярных, стационарных потоков и потоков без последействия?

1) Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определённые, равные промежутки времени. Регулярный поток обладает последействием; моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой, функциональной зависимостью.

2) Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

3) В потоке без последствий события, образующие данный поток, появляются в то или иные моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.

4. Перечислите свойства простейшего потока и дайте их содержательное толкование.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени длительностью t есть функция, за висящая только от k и t.

Свойство "отсутствия последействия" состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного со бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события

5. Что такое «размеченный граф состояний»

Граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями.

6. Что описывают уравнения Колмогорова?

Уравнения Колмогорова описывают поведение системы во времени

7. Что такое «финальные вероятности состояний»?

Финальную вероятность состояния – вероятность, что система будет находиться в определенном состоянии, вне зависимости от её начального состояния.

8. При соблюдении каких условий уравнения Колмогорова, представленные в виде системы дифференциальных уравнений можно преобразовать в систему линейных алгебраических уравнений?

В установившемся режиме вероятности 𝑃𝑖(𝑡),...,𝑃𝑚(𝑡) не изменяются и производные по времени ⅆ𝑝0ⅆ𝑡=ⅆ𝑝1ⅆ𝑡=...=ⅆ𝑝𝑛ⅆ𝑡=0, т.е. левые части уравнений Колмогорова можно заменить на 0.

9. Дайте описание области применимости уравнений Колмогорова.

Уравнение Колмогорова применяется в областях, в которых присутствует последовательность однородных событий, следующих одно за другим в определенном порядке, в случайные моменты времени.