Вопросы для самоконтроля

1. Что такое плоскопараллельное движение твердого тела?

2. Определение скорости тела при плоском движении?

3. Что такое мгновенный центр скоростей твердого тела?

4. Метод построения мгновенного центра скоростей?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 16.1 – 16.39 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 11 Определение ускорений точек тела при плоском движении

Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:

, где .

Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:

, отсюда следует, что

, (11.1)

где – ускорение точки А (полюс);

– ускорение точки при вращении вокруг точки А.

Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие – нормальную и касательную (рис. 11.1):

Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):

.

Рис. 11.1

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда

, (11.2)

Пример 1 (18.11).

Для механизма, представленного на рис. 5.2 угловое ускорение кривошипа ОА , ОА = 15см. Определить ускорение звена АВ в данном положении механизма, при t = 1c.

Решение

Рис. 11.2

Вначале определим ускорение точки В, выбрав за полюс точку А:

. (1)

Так как точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О, тогда:

,

где ; – угловая скорость кривошипа ОА.

.

; , тогда: ;

.

Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А по окружности, тогда

,

где – нормальная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

;

– касательная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

.

Для определения и определим скорость в точке В. Построим мгновенный центр скоростей для звена АВ. Точка О является м.ц.с. для звена АВ. Тогда

.

Так как , тогда

, отсюда .

Изобразим отдельно звено АВ с соответствующими ускорениями (рис. 11.3):

Рис. 11.3

С учетом сделанных расчетов уравнение (1) запишем в виде:

.

Спроектируем это векторное уравнение ВА на оси координат:

.

Подставляя полученные значения, получим:

.

Из треугольника ОАВ сторона см.

; .

Тогда

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и . Решая эту систему относительно неизвестных, получим: см/с², знак минус (-) означает, что истинное направление ускорения точки имеет противоположное направление выбранному; – угловое ускорение звена АВ.

Так как точки D и В принадлежат одному звену DB, которое совершает возвратно-поступательное движение, поэтому все точки этого звена имеют одинаковые скорости и ускорения по величине и направлению. Вследствие этого ускорение точки D будет: см/с² и направлено вертикально вверх.

Ответ: см/с², .

Пример 2.

На рис. 11.4. представлен механизм в данном положении: , , , , , I₁ = 0,6м, I₂ = 1,2м, I₃ = 1,4м, I₄ = 0,8м, . Определить V_A, V_B, V_D, V_E, , , а_А, а_В, а_D, а_Е, , , , . Точка D является серединой звена I₂.

Рис. 11.4

Решение

Определим скорость точки А. Так как точка А движется по окружности, то

м/с.

м/с.

Вектор скорости перпендикулярен I₁.

Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно звену I₄, а для вычисления модуля, определим мгновенный центр скоростей звена I₂, которому принадлежат точки А, В и C₂ – является мгновенным центром скоростей звена I₂. Составим соотношение:

, отсюда .

Так как угол С₂ВА = 60⁰, угол ВАС₂ = 180-120 = 60⁰, то угол ВС₂А = 60⁰.

Это означает, что треугольник ВС₂А является равносторонним поэтому

ВС₂ =АС₂, тогда V_B = V_A = 5,4 м/с., т.е. V_B = 5,4 м/с.

Для определения скорости точки D соединим точку С₂ с точкой D и проведем линию, перпендикулярную DC₂. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то направление вектора скорости точки D совпадет с направлением звена I₂. Модуль скорости точки D определим из соотношения:

, отсюда .

Из прямоугольного треугольника DC₂A следует, что

(м)

(м/с); м/с.

; .

Направление скорости точки Е совпадает с направляющей ползуна, т.е. имеет вертикальное направление. Зная направления векторов скоростей точек D и Е, принадлежащих звену I₃, определим мгновенный центр скоростей звена I₃. Это будет точка С₃, тогда составим соотношение:

, отсюда .

Рассмотрим треугольник С₃DE. Так как угол С₃ = 30⁰ и угол Е = 30⁰, то этот треугольник равнобедренный, т.е. DE = DC₃;

(м);

Тогда (м/с); м/с.

; .

Определим угловую скорость звена I₄:

; .

Определим ускорение точки А (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому ускорение точки А разложим на нормальную и касательную составляющие:

,

где (м/с²); м/с².

, так как по условию задачи , а , то , тогда . Поэтому м/с²; м/с².

Определим ускорение точки В, выбрав точку А за полюс. Тогда

, (1)

где – ускорение, связанное с вращением точки В вокруг А.

, (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

. (3)

Так как точка В вращается вокруг неподвижного центра О₂, то разложим ускорение точки В на нормальную и касательную составляющие:

. (4)

Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим:

. (5)

Выберем оси координат таким образом, что ось х будет направлена вдоль звена I₂.

Спроектируем уравнение (5) на оси координат:

на ось х:

на ось у:

(6)

Так как: (м/с²); м/с².

м/с².

(м/с²); м/с².

В системе двух уравнений (6) имеется две неизвестные: и , т.е. система уравнений имеет решение и притом только единственное. Подставим численные значения в систему уравнений (6):

Решая это уравнение, получим:

, отсюда следует, что

В связи с тем, что ,

; .

Ускорение точки В будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки D, выбрав за полюс точку А. Тогда

, (7)

Так как , а ускорение разложим на составляющие и (рис. 11.6).

Рис. 11.6

Учитывая, что , уравнение (7) примет вид:

. (8)

Спроектируем векторное уравнение (8) на выбранные оси координат:

на ось х:

на ось у: .

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и , так как м/с²; (м/с²); м/с²; (м/с²); м/с². Тогда полученная система двух уравнений примет вид:

Отрицательное значение указывает, что истинное направление вектора противоположно выбранному.

Ускорение точки D будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки Е. Направление вектора ускорения точки Е, будет совпадать с направляющей ползуна (рис. 11.7). На рис. 11.7 изображен фрагмент механизма, включающий звено I₃ и ползун Е.

Рис. 11.7

Ускорение точки Е будем определять, выбрав за полюс точку D, тогда:

, (9)

Учитывая, что , и , тогда уравнение (9) примет вид:

, (10)

Выберем оси координат, как показано на рис. 11.7, т.е. ось х направим вдоль направления звена I₃ и спроектируем векторное уравнение (10) на оси координат:

на ось х:

на ось у: .

Представленные два уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными: и , так как м/с²; м/с²; (м/с²), т.е. м/с². Подставляя численные значения, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

После преобразований получим:

отсюда следует

Ускорение точки Е составляет м/с² (знак минус указывает, что истинное направление вектора ускорения имеет противоположное значение выбранному).

Так как , то , т.е. .

Таким образом, определены все значения кинематических характеристик, указанные в вопросе задачи.