Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения A_z. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиусом h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение , тогда скорость точки будет равна:

или . (9.4)

Таким образом, скорость точки вращающегося твердого тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точке М окружности.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

; .

В нашем случае . Подставляя значение V из формулы (9.4), получим:

; .

После преобразований получим:

; . (9.5)

Рассмотрим сечение твердого тела: точка М совершает движение по окружности (рис. 9.4) (движение ускоренное).

М

Рис. 9.4

Ускорение точки М будет равно:

,

или .

Угол между ускорением точки М и радиусом, проведенным в эту точку, составляет μ, который можно найти по формуле:

Пример 1:

По заданному уравнению движения груза 3, , определить его скорость и ускорение, а также скорость и ускорение точки А механизма в момент времени t = t₁.

Рис. 9.5

Решение:

5. Определим скорость и ускорение груза 3:

,

при t = 2c: (м/с)

при t = 2c: (м/с²).

6. Определим скорость точки А:

Скорость точки А равна скорости V₃, так как нить нерастяжимая: ; где ω₂ – угловая скорость второй системы колес, отсюда .

Точка С принадлежит одновременно большому колесу первой системы и малому колесу первой системы.

Тогда .

С другой стороны, ; отсюда .

Точка А принадлежит большему колесу первой системы:

.

Подставляя численные значения, получим:

(м/с),

м/с.

Определим ускорение точки А. Так как точка А вращается по окружности, то

,

;

,

где – угловое ускорение первой системы колес.

Тогда ;

т.е. .

Подставляя численные значения, получим:

м/с²

м/с^2.

Так как , то м/с².

м/с².

Ответ: В момент t = 1c скорость груза V₃ = 52 м/с; ускорение груза а₃ = 16м/с², скорость точки А: V_A = 728 м/с; ускорение точки А: а_А = 424 м/с².

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое поступательное движение твердого тела?

2. Какие характеристики определяют поступательное движение твердого тела?

3. Какие характеристики определяют вращательное движение твердого тела?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 13.1 – 13.20, 14.1 – 14.9. [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 10

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельное (или плоское) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью О_ху, параллельной плоскости П (рис. 10.1). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ΄, перпендикулярной к сечению S, т.е. плоскости П движутся одинаково. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S в плоскости О_ху.

На рис. 10.2 представлено сечение S тела в плоскости О_ху. При плоском движении тела, сечение S тела перемещается в плоскости О_ху. Выберем две произвольные точки в плоскости сечения тела А и В. Тогда положение отрезка АВ будет определяться координатами точки А и углом φ, АВ будет определяться который образует отрезок АВ с осью х. Точку А, выбранную для определения положения сечения S будем называть полюсом. При движении тела величины Х_А, У_А и φ будут изменяться. Для определения положения тела при движении необходимо знать зависимости:

, , , (10.1)

Рис. 10.2.

Уравнения 10.1, определяющие закон движения называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Причем вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А.

На рис. 10.3 показано поступательное движение тела и его вращение вокруг полюса А.

Рис. 10.3.

Теорема. Вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Из этого следует, что любую точку, принадлежащую телу можно выбрать за полюс, т.е. характеристики вращательного движения тела ω и ε не зависят от выбора полюса.