Центр тяжести. Центр параллельных сил

Р ассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил F₁, F₂, …, F_n приложенных к телу в точках A₁, A₂, …, A_n. Эта система имеет равнодействующую R, направленную как слагаемые силы, а по модулю равна: R = å F_i.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей силы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Формулы для определения координат центра параллельных сил:

; ; .

Центр тяжести твердых тел

Твердое тело состоит из набора частиц, которые обладают силой тяжести. Силы тяжести всех этих частиц направлены к центру Земли, но, учитывая, что размеры Земли несоизмеримо больше размеров тела, то эти силы можно считать параллельными.

Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести тела как центра параллельных сил определяются по формулам:

; ; ,

где Pi – сила тяжести i-ой частицы тела;

P – сила тяжести всего тела: P = å P_i.

Координаты центра тяжести однородного тела:

; ; ,

где Vi – объем i-ой частицы тела;

V – объем тела, V = å V_i.

Координаты центра тяжести однородной линии:

; ; ,

где li – длина i-ой части линии;

L – длина всей линии, L = å l_i.

Определение координат центра тяжести однородной плоской фигуры

Координаты однородной плоской фигуры определяются по формулам:

, (6.2)

, (6.3)

где X_ic, Y_ic – координаты центра тяжести

i - части фигуры,

S_i - площадь i – части фигуры.

Центры тяжести некоторых однородных тел:

1. Треугольник

, (6.4)

, (6.5)

где x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃ – соответственно абсциссы и ординаты вершин треугольника.

2. Круговой сектор (рис. 6.4):

Рис. 6.4

(6.6)

Площадь сектора: S = R² (6.7)

3. Круговой сегмент (рис. 6.5):

Рис. 6.5

, (6.8)

Площадь сегмента: S = ½ R²(2 – sin 2), (6.9)

Примеры выполнения заданий

Задача 1 (способ разбиения)

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, представленной на

рис. 6.6:

Рис. 6.6

Решение

Разбиваем данное плоское тело на части, для каждой из которых положение центра тяжести известно. Тогда координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам (1) и (2).

В данном случае тело разбиваем на прямоугольник ABCL, треугольник LFK и полукруг CDF (рис. 6.7):

Рис. 6.7

Рассмотрим отдельно каждую часть фигуры:

1. Прямоугольник abcl

Центр тяжести (С₁) определяется на пересечении диагоналей АС и BL, т.е.

.

Площадь определяется: S₁ = AL * AB

Подставляя численные значения, получим:

X₁c = 15 мм; Y₁c = 20 мм; S₁ = 1200 мм².