теормех / ОТВЕТЫ ТЕОРМЕХ 4

Сколько времени продолжалось свободное падение груза, если за последнюю секунду он пролетел путь в три раза меньший, чем за все предыдущее время? Начальной скоростью пренебречь.

151

Движение точки задано уравнениями (х, у — в метрах, t — в секундах).

.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Решение.

Рис. 2.9. К задаче 2.1

Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второго — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: или .

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под углом α, где (рис. 2.9).

Определяем скорость точки. По формулам (2.1) получаем:

;

.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (2.1) дают:

152

Направлены векторы и вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускорение имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0<t<1 положительны, следовательно, в течение этого промежутка времени скорость точки

направлена от О к B. При этом в момент времени =0 =10м/с; в момент .

В последующие моменты времени ( >1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при и ; при (точка В); при ; при значения и растут по модулю, оставаясь отрицательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной скоростью и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом α, для которого . На участке OB точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где скорость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент точка вновь оказывается в начале координат и дальше продолжает свое движение вдоль ОА, Ускорение точки все время равно 10 м/с2.

153

154