теормех / ОТВЕТЫ ТЕОРМЕХ 1
.2.pdf
10. Производная от переменного вектора постоянного модуля.
Производная от переменного вектора постоянного модуля по скалярному аргументу
Напомним, что вектор, изменяющий с течением времени t свое направление и не изменяющий свой модуль называется переменным вектором постоянного модуля.
31
32
33
11. Понятие кривизны и радиуса кривизны. Радиус кривизны окружности.
Радиус кривизны это радиус окружности которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке.
Кривизна–характеристика искривленности плоской кривой.
34
12. Кинематика точки. Закон движения. Основная задача кинематики точки.
Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.
Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.
Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.
Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.
35
13. Способы задания движения. Векторный, координатный и естественный. Скорости и ускорения точки при различных способах задания движения. Примеры.
Векторный способ. Положение точки в пространстве задано, если ее радиус-
вектор r , проводимый из некоторого заданного центра, известен как функция времени, то есть r r t .
Координатный способ. Способ задания движения точки с помощью координат как известных функций времени называется координатным Естественный способ. При естественном способе задания движения известны уравнения траектории и закон движения точки по траектории.
Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки. В системе СИ скорость измеряется в м/с.
Определение скорости при векторном способе задания движения.
Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное
уравнение (2.1): |
r |
r |
|
|
r r( t ) . |
|
|||
Пусть за время t |
|
|
r |
r |
радиус-вектор r |
точки М изменится на величину r . Тогда |
|||
средней скоростью точки М за время t называется векторная величина |
||||
|
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
Vср |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
Мгновенной скоростью (или далее - просто скоростью) называется предел Vср
при t стремящемся к нулю, т.е.
r |
|
|
|
r |
|
limV |
|
lim r . |
|
||
V |
ср |
(2.4) |
|||
|
t 0 |
t 0 |
t |
|
|
|
|
|
|||
Вспоминая определение производной, заключаем:
36
r |
r |
r |
dr |
& V r . dt
Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.
б) Скорость точки при координатном способе задания движения.
Выведем формулы для определения скорости при координатном способе
задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:
r |
r |
|
|
r r r |
r |
|
r |
r |
|
r |
r |
|
r |
|
dr |
|
d |
|
di |
|
dj |
|
dk |
|
|||||
|
|
|
& |
|
& |
|
& |
|
||||||
V dt |
dt |
|
x dt |
y dt |
|
dt . |
||||||||
( xi yj zk ) xi |
yj |
zk |
z |
|||||||||||
Определение скорости при естественном способе задания движения.
Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
& r |
|
|
|
|
|
r |
|
S r |
|
S |
|
r |
|
dS r |
|
|||
Согласно (2.4) V |
lim |
|
lim |
|
lim |
|
lim |
|
|
|
S |
, |
||||
t |
t S |
t |
S |
|
||||||||||||
|
|
|
|
t 0 |
t 0 |
t 0 |
t 0 |
|
dt |
|
|
|||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
- единичный вектор касательной. Таким образом, |
|
|
|
|
|||||||||
dS |
|
|
|
|
||||||||||||
Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости. В системе СИ
ускорение измеряется в м/с2.
Ускорения точки при векторном способе задания движения
|
|
r |
|
за промежуток времени t называется отношение |
|
Средним ускорением Wср |
|||||
|
|
r |
|
r |
r |
изменения скорости V |
V( t t ) V( t ) |
||||
r |
|
r |
|
|
|
|
V . |
|
|
|
|
W |
ср |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени
Ускорения при координатном способе задания движения.
Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:
r |
r |
|
|
r |
r |
r |
r |
|
r |
r |
|
r |
r |
|
r |
|
dV d |
|
di |
|
dj |
|
dk |
|
|||||||||
|
& & |
& |
& & |
& & |
& & |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dt |
|
|
dt . |
|||||||||||
W |
dt |
( xi |
yj |
zk ) xi |
x dt |
yj |
y dt |
zk |
z |
|||||||
Ускорение точки при естественном способе задания движения
Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления
(касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.
38
14. Кинематика твердого тела. Поступательное движение твердого тела.
Теорема о скоростях точек поступательно движущегося твердого тела. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая
скорость и угловое ускорение. Линейные скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела. Примеры. Со стр 95
https://5iz5.ucoz.ru/publ/dlja_vuzov/mekhanika/reshebnik_gdz_onlajn_sbornik_zadach _po_teoreticheskoj_mekhanike_meshherskij_kinematika/71-1-0-125
39
Кинематика твёрдого тела (от др.-греч. — движение) — раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела, не вдаваясь в вызывающие его причины.
40