теормех / ОТВЕТЫ ТЕОРМЕХ 1

Следствие 1. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается неизменным.

Следствие 2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается неизменным.

+Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач, в которых рассматривается движение механической системы, состоящей из центрального тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и одного или нескольких тел, движение которых связано с центральным.. Связь может осуществляться при помощи нитей, тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его каналах за счет внутренних сил. С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.

http://cdo.bru.by/course/AVT/profes,spetc/teoret_mechanika_AVTZ/file/lekcher/dinami ka_2.pdf

стр 5

Закон сохранения кинетического момента. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Теорема об изменении кинетического момента точки

Первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра:

. (171)

Проецируя (171) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента точки относительно этих осей координат:

111

, , . (171')

Теорема об изменении кинетического момента системы

Первая производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

, (172)

где – главный момент всех внешних сил системы.

Проецируя (172) на прямоугольные декартовы оси координат, получаем теоремы об изменении кинетического момента системы относительно этих осей координат, т. е.

, , . (172')

Законы сохранения кинетических моментов

1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки

равен нулю, т. е. , то, согласно (79), кинетический момент системы относительно той же точки постоянен по модулю и направлению, т. е.

. (173)

Этот частный случай теоремы об изменении кинетического момента системы называют законом сохранения кинетического момента. В

проекциях на прямоугольные декартовы оси координат по этому закону

, , ,

где , , – постоянные величины.

112

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно

оси равна нулю, т.е. , то из (172') следует, что

. (174)

+Следовательно, кинетический момент системы относительно какой-либо координатной оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что, в частности,

наблюдается, когда внешние силы параллельны оси или пересекают ее. В частном случае для тела или системы тел, которые все вместе могут вращаться вокруг неподвижной оси, и если при этом

,

то

, или , (175)

где и – момент инерции системы тел и их угловая скорость

относительно оси вращения в произвольный момент времени ; и

– момент инерции тел и их угловая скорость в момент времени, выбранный за начальный.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Из теоремы об изменении кинетического момента (172') следует дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси :

, (176)

где – угол поворота тела.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи: по заданному вращению тела определять вращающий момент внешних

113

сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны рассмотренным методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы.

114

115

116

118

Случай, когда система является абсолютно твердым телом.

Абсолютно твёрдое тело – материальный объект, расстояние между двумя точками на поверхности которого всегда остаётся постоянным. Это цело является ещё и абсолютно жёстким. Любое атт можно рассматривать как систему материальных точек. Мера механического воздействия одного материального объекта на 2-ой

– это сила.(н)

Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы.

120